数学II / 指数関数・対数関数

指数不等式を満たす最小の整数

★★★★ 難関常用対数指数不等式

問題

$3^{n} > 1 0^{100}$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。

ヒントを見る

両辺の常用対数をとると、 $n$ についての $1$ 次不等式になる。 $n > \frac{100}{l o g _{10} 3}$ を計算して、これより大きい最小の整数を選ぶ。

解答・解説

方針

両辺の常用対数をとる。 $3^{n} > 1 0^{100}$ ⟺ $n lo g_{10} 3 > 100$ 。 $n > \frac{100}{lo g _{10} 3}$ を計算し、これを超える最小の整数を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3^{n} > 1 0^{100}$ を満たす最小の $n$ 。両辺とも巨大で直接は比べられない。

指数の肩の $n$ を下ろしたい。そのための道具が対数。両辺の常用対数をとる。

$lo g$ は増加関数だから、 $3^{n} > 1 0^{100}$ と $lo g_{10} 3^{n} > lo g_{10} 1 0^{100}$ は同値。

$n lo g_{10} 3 > 100$ 、すなわち $n > \frac{100}{lo g _{10} 3}$ 。これを超える最小の整数を探す。

公式

a^{n} > b

(

a > 1

)⟺

n lo g_{10} a > lo g_{10} b

(両辺の常用対数をとる)

① 常用対数をとる。 $3^{n} > 1 0^{100}$ の両辺の常用対数をとると( $lo g_{10}$ は増加関数だから不等号はそのまま)

$n lo g_{10} 3 > 100$

② $n$ の範囲。

$n > \frac{100}{lo g _{10} 3} = \frac{100}{0.4771} = 209.6 \dots$

③ 最小の整数。 $n > 209.6 \dots$ を満たす最小の整数は $n = 210$ 。

(確認: $209 \times 0.4771 = 99.71 < 100$ 、 $210 \times 0.4771 = 100.19 > 100$ 。確かに $n = 210$ で初めて超える。)

まとめ:指数不等式は「両辺の常用対数」で $n$ の $1$ 次不等式に。 $n > \frac{100}{l o g 3} = 209.6$ を超える最小の整数 $210$ 。境界の $209, 210$ で実際に確かめると安心。

発展 — 一歩先へ。 $lo g_{3} 10 = \frac{1}{lo g _{10} 3}$ は「底の入れ替えで対数は逆数になる」性質( $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ )。 $10$ と $3$ の間を対数が橋渡しし、片方の値からもう片方が出る。大きな数を「小さい底の何乗か」に翻訳するのは、対数の最も基本的な使い方だ。

答

$n = 210$

別解

別解 — $1 0^{100}$ を $3$ の累乗に翻訳する(得意な人向けの視点)。 $3^{n} > 1 0^{100}$ を「 $1 0^{100}$ が $3$ の何乗か」で捉える。

$10 = 3^{l o g_{3} 10}$ だから $1 0^{100} = 3^{100 l o g_{3} 10}$ 。ここで $lo g_{3} 10 = \frac{1}{lo g _{10} 3} = \frac{1}{0.4771} = 2.0961 \dots$ 。

よって $1 0^{100} = 3^{209.61 \dots}$ 。

$3^{n} > 3^{209.61 \dots}$ となる最小の整数 $n$ は $210$ 。

両辺の常用対数をとって $n > \frac{100}{lo g _{10} 3}$ とする本解と、指数を同じ底 $3$ にそろえるこの解は同じ。 $3^{n} > 3^{209.6}$ と底がそろえば、指数を比べるだけで $n \geq 210$ が見える。

ポイント

常用対数をとり $n lo g_{10} 3 > 100$ 。
$n > \frac{100}{0.4771} = 209.6$ → 最小の整数 $210$ 。

よくある間違い

対数をとる向きを誤り、 $n < \frac{100}{lo g _{10} 3}$ と不等号を逆にする。
$\frac{100}{0.4771} = 209.6 \dots$ から最小整数を $209$ とする( $209.6$ を超える最小は $210$ )。
$3^{n} > 1 0^{100}$ の常用対数で、右辺 $lo g_{10} 1 0^{100} = 100$ を $lo g_{10} 100 = 2$ と混同する。