数学II / 指数関数・対数関数

累乗の大小比較

★★★★ 難関常用対数大小比較

問題

$2^{100}$ 、 $3^{60}$ 、 $5^{40}$ を大きい順に並べよ。ただし $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。

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そのままでは比べられない。 $lo g_{10}$ をとると指数が下りてきて比べられる。 $lo g$ は増加関数なので、対数の大小 = 元の数の大小。 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ 。

解答・解説

方針

指数が大きすぎて直接は比べられないので、それぞれの常用対数(底 $10$ )をとって比べる。 $lo g$ は増加関数だから、対数の大小がそのまま元の大小。 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ を使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2^{100}, 3^{60}, 5^{40}$ の大小。指数が大きすぎて、そのままでは比べられない。

肩の数を下ろす道具は対数。それぞれの常用対数をとる。

$lo g$ は増加関数だから、対数の大小がそのまま元の数の大小になる。

$lo g_{10} 2, lo g_{10} 3$ は与えられている。 $lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - lo g_{10} 2$ で作れる。

重要

lo g_{10}

は増加関数。

lo g_{10} A > lo g_{10} B \Leftrightarrow A > B

。大きな累乗の大小は常用対数で比べる

① それぞれの常用対数。

$lo g_{10} 2^{100} = 100 lo g_{10} 2 = 100 \cdot 0.3010 = 30.10$ $lo g_{10} 3^{60} = 60 lo g_{10} 3 = 60 \cdot 0.4771 = 28.626$ $lo g_{10} 5^{40} = 40 lo g_{10} 5 = 40 (1 - 0.3010) = 40 \cdot 0.6990 = 27.96$

② 大小を比べる。 $30.10 > 28.626 > 27.96$ だから、 $lo g$ の大小より

$2^{100} > 3^{60} > 5^{40}$

まとめ:巨大な累乗の大小は「常用対数をとって数値比較」。 $lo g$ は増加関数なので対数の大小 = 元の大小。 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ で $lo g 5$ を作るのが小技。指数を下ろすことで、桁の違う数どうしが横並びで比べられる。

発展 — 一歩先へ。 指数に共通の約数があれば、その乗根でそろえて底を比べるのが最速(対数表いらず)。 $2^{5} = 32, 3^{3} = 27, 5^{2} = 25$ のように小さな数の比較に落ちる。指数がそろわないときだけ対数の出番、と使い分けると計算が軽い。

答

$2^{100} > 3^{60} > 5^{40}$

別解

別解 — 指数の最大公約数でそろえる(対数を使わないルート)。 指数 $100, 60, 40$ の最大公約数は $20$ 。 $20$ 乗の形にそろえて、中身(底)だけを比べる。

$2^{100} = (2^{5})^{20} = 3 2^{20}, 3^{60} = (3^{3})^{20} = 2 7^{20}, 5^{40} = (5^{2})^{20} = 2 5^{20} .$

肩はすべて $20$ でそろった。 $20$ 乗は増加だから、底の大小がそのまま。 $32 > 27 > 25$ なので

$3 2^{20} > 2 7^{20} > 2 5^{20}, すなわち 2^{100} > 3^{60} > 5^{40} .$

常用対数をとる本解と同じ順序。指数に共通の約数があるときは、その乗根でそろえると $2^{5}, 3^{3}, 5^{2}$ という小さな数の比較に落ち、対数表なしで決着する。

ポイント

$lo g_{10}$ をとって $30.10, 28.626, 27.96$ 。
$lo g$ は増加関数 → $2^{100} > 3^{60} > 5^{40}$ 。

よくある間違い

$lo g_{10} 5$ を与えられていないと諦める( $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ で作れる)。
対数の大小と元の数の大小が逆だと思い込み、順序を反対に並べる( $lo g$ は増加関数)。
$5^{40}$ の対数を $40 lo g_{10} 5$ でなく $5 \cdot 40 \dots$ のように底と指数を取り違える。