数学II / 指数関数・対数関数

指数方程式(置き換え)

★★ 標準指数方程式置き換え

問題

方程式 $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ を解け。

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$4^{x}$ は $2^{x}$ の $2$ 乗で書ける。 $2^{x}$ を $1$ つの文字とみなすと、ただの $2$ 次方程式に化ける。ただし置きかえた文字には『必ず正』という隠れた条件がつく。

解答・解説

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ に注目。 $t = 2^{x}$ とおくと $t$ の2次方程式になる。ただし $t = 2^{x} > 0$ なので、 $t$ が正であることを最後に確認する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ 。この読み替えに気づくと、式は $2^{x}$ の2次式だと分かる。

$t = 2^{x}$ とおけば $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ 、因数分解して $(t - 4) (t + 1) = 0$ 。

ここで置きかえの検問。 $t = 2^{x}$ は常に正だから、 $t = - 1$ は捨てる。 $t = 4$ だけが生き残り、 $2^{x} = 4$ から $x = 2$ 。

重要

4^{x} = (2^{x})^{2}

。

t = 2^{x}

(

t > 0

)とおくと2次方程式になる

① $t = 2^{x}$ で置き換える。 $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ なので

$t^{2} - 3 t - 4 = 0$

② 2次方程式を解く。

$(t - 4) (t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4 または t = - 1$

③ $t > 0$ で絞る。 $t = 2^{x}$ は必ず正なので $t = - 1$ は不適。 $t = 4$ を採用する。

$2^{x} = 4 = 2^{2} \Rightarrow x = 2$

t=2^x とおくと t²−3t−4=(t−4)(t+1)=0。t>0 より t=4、2^x=4、x=2

まとめ: $4^{x}$ や $9^{x}$ が出たら $t = 2^{x}$ ( $t = 3^{x}$ )で2次方程式にする。 $t > 0$ の確認を忘れず、負の解を捨てるのが決め手だ。

発展 — 一歩先へ。 $t = 2^{x}$ の置きかえの相棒として、 $t > 0$ という範囲が必ず付いてくる。三角関数の $t = sin θ$ に $- 1 \leq t \leq 1$ が付くのと同じ、「置きかえと範囲はセット」の原則だ。

右辺が $2^{2}$ のようにきれいでない方程式( $2^{x} = 5$ など)では、 $x = lo g_{2} 5$ と対数で答える。指数方程式の最終兵器が対数である、という接続がこの先の単元で待っている。

答

$x = 2$

文字 $t$ を書かずに、 $2^{x}$ のまま因数分解する速記もできる。

$4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = (2^{x} - 4) (2^{x} + 1) = 0$

ここで2つの因数の素性を見る。 $2^{x} + 1$ は、 $2^{x} > 0$ だから常に $1$ より大きい。ゼロには絶対なれない。

だから方程式の責任はもう一方が負う。 $2^{x} - 4 = 0$ 、つまり $2^{x} = 4 = 2^{2}$ で、指数を比べて $x = 2$ 。

置きかえルートの「 $t = - 1$ を捨てる」判断が、この書き方では「 $2^{x} + 1 > 0$ だから因数として無害」という一文に置き換わる。同じ検問を、式のどの段階で通すかの違いだ。慣れたら速記、不安なら $t$ を書く、と使い分ければよい。