底が逆数の対数を含む方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\log }_{2}x$ と ${\log }_{x}2$ が混ざっている。底が $2$ と $x$ でバラバラだ。

底の変換で ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ と書ける。$2$ つは逆数の関係だと気づく。

そこで $t={\log }_{2}x$ とおくと、方程式は $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$。

分母を払えば $t$ の $2$ 次方程式。解いてから $x$ に戻す。

① 置きかえる。 $t={\log }_{2}x$ とおくと ${\log }_{x}2=\frac{1}{t}$。方程式は

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$$

② $2$ 次方程式にする。 両辺に $2t$ を掛けて

$$2t^2+2=5t⟹2t^2-5t+2=0⟹(2t-1)(t-2)=0$$

より $t=\frac{1}{2},2$。

③ $x$ に戻す。 ${\log }_{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2^{1/2}=\sqrt{2}$、${\log }_{2}x=2\Rightarrow x=4$。どちらも $x>0,x\ne 1$ を満たす。よって

$$x=4,\sqrt{2}$$

まとめ:底が逆の対数は「底の変換で逆数」。$t={\log }_{2}x$ の置換で $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$ となり、$2$ 次方程式に。$t=\frac{1}{2},2$ を $x=2^t$ に戻す。真数条件 $x>0,x\ne 1$ の確認も忘れない。

発展 — 一歩先へ。 $t+\frac{1}{t}$ の形は「相反(逆数対称)」の香り。$t>0$ なら相加相乗平均で $t+\frac{1}{t}\ge 2$、最小 $2$ は $t=1$($x=2$)。本問の右辺 $\frac{5}{2}$ は $2$ より大きいので解が $2$ つ、というのも図で見える。$t+\frac{1}{t}=k$ は $k\ge 2$ でだけ実数解をもつ。

別解

別解 — $2$ 解が「逆数の関係」だと見抜く(得意な人向けの視点)。 $t={\log }_{2}x$ とおくと、方程式は $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$。左辺は $t$ と $\frac{1}{t}$ の和で、$t\to \frac{1}{t}$ と入れ替えても形が変わらない。

だから解 $t$ が見つかれば $\frac{1}{t}$ も解。$2$ 解は互いに逆数、つまり積が $1$ の関係。

$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$ から $2t^2-5t+2=0$、解と係数の関係で積は $\frac{2}{2}=1$。確かに逆数ペア。実際 $t=2$ と $t=\frac{1}{2}$。

$x=2^t$ に戻すと $x=4$ と $x=\sqrt{2}$。この $2$ つは ${\log }_{2}x$ が逆数、すなわち $({\log }_2{x}_1)({\log }_2{x}_2)=1$。$t$ の $2$ 次方程式を解く本解と同じだが、「逆数の対称性」に気づくと解の構造が先に見える。