累乗根の大小比較

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 乗根・$3$ 乗根・$6$ 乗根と、根号の種類がばらばらだ。そのままでは比べられない。

分数指数に直すと $2^{\frac{1}{2}},3^{\frac{1}{3}},10^{\frac{1}{6}}$。指数の分母を $6$ に通分して、全部を $6$ 乗根にそろえる。

$2^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{8}$、$3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{9}$、$\sqrt[6]{10}$。同じ $6$ 乗根なら、中身 $8<9<10$ の大小がそのまま全体の大小になる。

① 指数の分母を $6$ にそろえる。

$$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$$

$$\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}$$

$$\sqrt[6]{10}=\sqrt[6]{10}$$

② $6$ 乗根の中身で比べる。 中身は $8<9<10$。$6$ 乗根は増加なので大小はそのまま。

$$\sqrt[6]{8}<\sqrt[6]{9}<\sqrt[6]{10}\Rightarrow \sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{10}$$

まとめ:$n$ 乗根の大小は、指数の分母を最小公倍数にそろえて同じ根号にする。あとは中身(真数)の大小を見るだけでよい。

発展 — 一歩先へ。 「単調な操作(正の範囲での $n$ 乗、$\log$ をとる、など)は大小を保つ」という原理が、この比較法の土台だ。対数を学んだ今なら、$\log$ をとって $\frac{\ln 2}{2},\frac{\ln 3}{3},\frac{\ln 10}{6}$ を比べる第3の道もある。

$\sqrt[3]{3}$ と $\sqrt{2}$ の比較は、「$2^3$ と $3^2$ の比較」に化けた。一般の $a^b$ 対 $b^a$ の大小は、数学IIIで関数 $\frac{\log x}{x}$ の増減として鮮やかに解決される名門テーマである。

別解

「全部 $6$ 乗してしまう」と、根号が一切出てこない整数の比較になる。

比べたい3数はすべて正。正の数どうしなら、$6$ 乗しても大小関係は変わらない($y=x^6$ が $x>0$ で増加関数だからだ)。

$$(\sqrt{2}{)}^6=2^3=8,(\sqrt[3]{3}{)}^6=3^2=9,(\sqrt[6]{10}{)}^6=10$$

$8<9<10$ だから、元の3数も $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{10}$。

「何乗すれば全員の根号が消えるか」= 乗根の最小公倍数($2,3,6$ の LCM は $6$)を選ぶのがこつだ。通分ルートと6乗ルートは同じ計算の2つの見せ方だが、6乗のほうは「正だから大小が保たれる」という論拠を1行書く責任が伴う。