指数不等式(基本)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式も、まず底を揃える。しかし、方程式とは決定的に違う注意点がある。

(1) $2^x>32=2^5$

底 $2$ は $1$ より大きい → $y=2^x$ は増加関数。

増加関数では、大小関係がそのまま指数に引き継がれる。

$$2^x>2^5⟹x>5$$

(2) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\geqq 27$

底 $\frac{1}{3}$ は $1$ より小さい → 減少関数!

減少関数では、値が大きいほど、指数は小さい。 つまり不等号が反転する。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\geqq {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}⟹x\leqq -3$$

($27=3^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$ と、底を $\frac{1}{3}$ に揃えた。)

底が $1$ より小さいと、不等号がひっくり返る — これがこの単元最大の落とし穴である。

(1) $32=2^5$。底 $2>1$ なので不等号はそのまま。

$$2^x>2^5\Rightarrow x>5$$

(2) 底を $\frac{1}{3}$ にそろえる。$27=3^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$。底 $\frac{1}{3}<1$ なので、指数を比べるとき不等号が逆になる。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}\Rightarrow x\le -3$$

発展 — 一歩先へ。 「増加関数か減少関数か」で不等号の扱いが変わる — この構造は、あらゆる不等式に共通する原理である。

$$f(A)<f(B)⟹\{\begin{array}{ll}A<B& (f\text{が増加関数})\\ A>B& (f\text{が減少関数})\end{array}$$

「単調な関数を通しても、順序は保たれる(または反転する)」

この原理が使える場面。

• 指数: $a>1$ で保存、$0<a<1$ で反転
• 対数: 底 $a>1$ で保存、$0<a<1$ で反転(同じ!)
• $2$ 乗: $x>0$ の範囲でのみ保存($x^2$ は正の範囲で増加)
• 逆数: $\frac{1}{x}$ は($x>0$ で)減少関数 → 反転する

逆数で反転する例。

$$2<3⟹\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$$

当たり前に見えるが、これも「減少関数だから反転」の一例だ。

そして、この原理を知らないと、危険な間違いを犯す。

$$\frac{1}{x}<2$$

両辺に $x$ を掛けて $1<2x$、つまり $x>\frac{1}{2}$?

間違い。 $x$ が負のとき($x=-1$ など)を確かめてみよう。

$$\frac{1}{-1}=-1<2✓\text{成り立つ}$$

しかし $x=-1$ は $x>\frac{1}{2}$ を満たさない。 解を落としている!

正しい答えは $x<0$ または $x>\frac{1}{2}$。

なぜ間違えたか。「$x$ を掛ける」とき、$x$ の符号が分からないのに、不等号の向きを固定してしまった。

$x>0$ なら向きはそのまま、$x<0$ なら反転 — 場合分けが必要だったのだ。

「掛ける数・割る数の符号」「関数の増減」 — 不等式では、この $2$ つを常に意識する。等式では気にしなくてよかったことが、不等式では命取りになる。

別解

「不等号がひっくり返る」を、絶対に忘れない方法がある。 グラフを見ることと、数値で確かめることだ。

グラフで理解する。

$y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ は、右下がりのグラフ(減少関数)。

$x$ が増えると $y$ は減る — だから「$y$ が大きい」ということは「$x$ が小さい」ということ。

「$y\geqq 27$」の部分を、グラフで探す。 グラフの左側(x が小さいほう)で、$y$ の値が大きくなっている。$y=27$ となるのは $x=-3$。

そこより左(小さい $x$)が、$y\geqq 27$ の範囲。

$$x\leqq -3✓$$

グラフを見れば、「左側だ」と一目で分かる。 不等号の向きを頭で考える必要すらない。

数値で確かめる(最強の検算)。

答え $x\leqq -3$ が正しいか、実際に数値を入れてみる。

$x=-4$(答えの範囲内):

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}=3^4=81\geqq 27✓\text{成り立つ}$$

$x=-2$(答えの範囲外):

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9\geqq 27?\text{偽}$$

成り立たない ✓ 範囲外なので、これで正しい。

もし答えを $x\geqq -3$ と間違えていたら、$x=-2$ が解に含まれることになる。しかし $9<27$ で不等式を満たさない — $1$ 回代入すれば、間違いが露見する。

$10$ 秒の検算で、致命的なミスが防げる。

「不等号の向きに迷ったら、数値を $1$ つ入れる」 — この習慣を、絶対に身につけたい。

なぜ底が $1$ より小さいと反転するのか、もう $1$ 度整理する。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=3^{-x}$$

書き直すと、指数にマイナスがついている。

$$3^{-x}\geqq 3^3$$

底 $3$ は $1$ より大きい(増加関数)ので、そのまま指数を比べられる。

$$-x\geqq 3⟹x\leqq -3$$

最後に「両辺を $-1$ で割った」から、不等号が反転した ✓

「底が $1$ より小さい」を「指数にマイナスがつく」に読みかえれば、反転の理由は"負の数で割ったから" — 中学以来おなじみのルールに帰着する。

$2$ つの理解を持っておこう。

• グラフの目: 減少関数だから、大小が逆転する
• 式の目: ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$ で、負の数を割ることになる

どちらでもよい。$1$ つでも腑に落ちれば、二度と間違えない。