指数関数のグラフと直線の共有点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「相異なる2点で交わることを示せ」は、2つの主張に分かれる。少なくとも2点で交わること。そして3点以上では交わらないことだ。

前半は、交点の方程式 $2^x=x+1$ に当たりをつけて具体解を探す。$x=0$ と $x=1$ がすぐ見つかる。

後半は個数の議論。$y=2^x$ は下に凸だから、どんな直線とも共有点は高々2個。この凸性の一言で、2点で打ち止めになる。

① 具体解を見つける。 $x=0$:$2^0=1=0+1$。$x=1$:$2^1=2=1+1$。どちらも成り立つので、$y=2^x$ と $y=x+1$ は少なくとも $x=0,1$ の $2$ 点で交わる。

② 2点で尽くすことを示す。 $y=2^x$ は下に凸(グラフが下向きにふくらむ)だから、どんな直線とも共有点は高々 $2$ 個。したがって共有点はちょうど $2$ 個であり、$x=0,1$ に限る。

まとめ:「方程式の解=グラフの交点」に翻訳して $x=0,1$ を見つけ、仕上げに"凸関数と直線は高々 $2$ 交点"で $2$ 個に確定させる。指数関数のグラフ(凸性)の理解が急所。

発展 — 一歩先へ。 底を変えると風景が変わる。$y=e^x$($e\approx 2.72$、数学IIIで主役になる底)と $y=x+1$ は $x=0$ の1点で接する($e^x\ge x+1$ が常に成り立ち、等号は $x=0$ のみ)。底 $2$ では2点で交わっていたものが、底 $e$ ではちょうど1点に退化する。この境目に立つ底であることが、$e$ の特別さの一面だ。

別解

「曲線と自分の弦」と読む(凸性の使い方が鮮明になる見方)。 2つの交点 $(0,1)$ と $(1,2)$ を結ぶ直線は、傾き $\frac{2-1}{1-0}=1$、切片 $1$。つまり直線 $y=x+1$ は、曲線 $y=2^x$ 上の2点を結ぶ弦そのものだ。

下に凸な曲線は、弦の内側($0<x<1$)では弦より真に下に、外側($x<0$ と $x>1$)では真に上にある。等しくなるのは弦の両端だけ。

数値でも確かめられる。$x=\frac{1}{2}$ では $\sqrt{2}\approx 1.41<1.5$(内側は下)。$x=2$ では $4>3$、$x=-1$ では $\frac{1}{2}>0$(外側は上)。

だから $2^x=x+1$ の解は弦の両端 $x=0,1$ に限られ、共有点はちょうど2個。「高々2交点」という一般論(本解)を「この直線は弦だ」という個別の観察に置き換えると、不等号の向きまで含めて全部見える。