数学II / 指数関数・対数関数

対数の大小比較(はさみこみ)

★★★ 応用大小比較対数

問題

$lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 5$ の大小を比べよ。

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直接は比べられない $2$ つを、共通のものさし(ちょうど中間にありそうな数)とそれぞれ比べる。ものさしとの大小は、対数を外した累乗の比較で判定できる。

解答・解説

方針

底がちがう対数どうしは直接比べにくい。そこで、両方を $\frac{3}{2}$ と比べる(あいだにものさしを1本入れる)。片方が $\frac{3}{2}$ より大きく、もう片方が $\frac{3}{2}$ より小さいと言えれば決着。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 底が違う $lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 5$ は、直接には比べにくい。

そこで、あいだに『ものさし $\frac{3}{2}$ 』を $1$ 本入れる。両者をそれぞれ $\frac{3}{2}$ と比べるのだ。

片方が $\frac{3}{2}$ より大きく、もう片方が $\frac{3}{2}$ より小さいと言えれば決着する。「直接比べられない $2$ 数は、中間の基準ではさむ」というはさみこみの発想が核だ。

重要底のちがう対数は、あいだに基準値(

\frac{3}{2}

)をはさんで大小を決める

① $lo g_{2} 3$ と $\frac{3}{2}$ を比べる。 $lo g_{2} 3 > \frac{3}{2}$ は、両辺を $2$ の指数にして $3 > 2^{\frac{3}{2}}$ と同じ。

$2^{\frac{3}{2}} = 22 = 2 \times 1.41 \dots = 2.83 \dots < 3$

よって $lo g_{2} 3 > \frac{3}{2}$ 。

② $lo g_{3} 5$ と $\frac{3}{2}$ を比べる。 $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}$ は $5 < 3^{\frac{3}{2}}$ と同じ。

$3^{\frac{3}{2}} = 33 = 3 \times 1.73 \dots = 5.19 \dots > 5$

よって $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}$ 。

③ はさみこむ。 ①②より

$lo g_{3} 5 < \frac{3}{2} < lo g_{2} 3 \Rightarrow lo g_{2} 3 > lo g_{3} 5$

まとめ:底がそろわない対数の大小は、 $\frac{3}{2}$ のような「きりのいい基準値」を1本はさむ。 $lo g$ の不等式は「 $a^{p}$ と真数」の比較に直すと確かめられる。

発展 — 一歩先へ。 $lo g_{a} M$ と分数 $\frac{p}{q}$ の大小は、じつは小数も根号も使わずに決められる。

$lo g_{a} M ≷ \frac{p}{q}$ は、両辺を $q$ 乗して $M^{q} ≷ a^{p}$ という整数どうしの比較に化ける( $a > 1$ )。本問なら $lo g_{2} 3 > \frac{3}{2} ⟺ 3^{2} > 2^{3} ⟺ 9 > 8$ 、 $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2} ⟺ 5^{2} < 3^{3} ⟺ 25 < 27$ 。

$22$ や $33$ の近似を持ち出さなくても、 $9 > 8$ と $25 < 27$ という整数の一目で済む。これが「きりのいい分数のものさしを入れる」技の本体だ。

答

$lo g_{2} 3 > lo g_{3} 5$

別解

別解 — 分数に直してたすき掛け(得意な人向けの視点)。 底の変換で両方を同じ底 $10$ に直す。 $lo g_{2} 3 = \frac{lo g _{10} 3}{lo g _{10} 2}$ 、 $lo g_{3} 5 = \frac{lo g _{10} 5}{lo g _{10} 3}$ 。

$2$ つの分数の大小は、たすき掛けで積の比較になる。どちらの分母も正だから

$lo g_{2} 3 ≷ lo g_{3} 5 ⟺ (lo g_{10} 3)^{2} ≷ lo g_{10} 2 \cdot lo g_{10} 5.$

常用対数の概算 $lo g_{10} 2 \approx 0.30$ 、 $lo g_{10} 3 \approx 0.48$ 、 $lo g_{10} 5 \approx 0.70$ を入れると、左は $0.4 8^{2} = 0.2304$ 、右は $0.30 \times 0.70 = 0.21$ 。

左が大きいので $lo g_{2} 3 > lo g_{3} 5$ 。中間のものさしではさむ本解と同じ結論だ。常用対数の値を覚えていれば、大小は積の比較 $1$ 回で片づく。

ポイント

基準値をはさむ( $A > k > B$ なら $A > B$ )。
$lo g_{a} M ≷ k ⟺ M ≷ a^{k}$ (底 $> 1$ )に直して確かめる。

よくある間違い

底がちがう $2$ 数を共通のものさしを介さず直接比べようとして、手が止まる。
たすき掛けの $(lo g_{10} 3)^{2}$ と $lo g_{10} 2 \cdot lo g_{10} 5$ を、 $lo g_{10} 9$ と $lo g_{10} 10$ と取り違え、 $9 < 10$ から逆の結論を出す。
ものさし $\frac{3}{2}$ が片方の上・片方の下に入っているかを確かめず、 $2$ 数が同じ側にあると思い込む。