数学II / 指数関数・対数関数

指数の大小比較

★ 基礎大小比較

問題

$1$ 、 $2$ 、 $34$ を小さい順に並べよ。

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見た目がバラバラな $3$ つを、同じ底の累乗の形にそろえられないか。そろえば、指数の大小だけの比較になる。

解答・解説

方針

すべて底 $2$ の累乗にそろえる。 $a > 1$ の指数関数は増加関数なので、指数が大きいほど数も大きい。指数を比べるだけでよくなる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1$ 、 $2$ 、 $34$ — 根号の種類がバラバラで、このままでは比べられない。

そこで、すべてを「 $2$ の何乗か」に統一する。

$1 = 2^{0}$

$2 = 2^{\frac{1}{2}}$

$34 = 3 2^{2} = 2^{\frac{2}{3}}$

底が $2$ に揃った。 あとは指数だけを比べればよい。

$0 < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$

$y = 2^{x}$ は増加関数だから、指数が大きいほど値も大きい。

$2^{0} < 2^{\frac{1}{2}} < 2^{\frac{2}{3}}$

$1 < 2 < 34$

「底を揃えて、指数を比べる」 — 指数の大小比較は、この一手に尽きる。

重要底をそろえて指数を比べる(

a > 1

なら指数が大きいほど数も大きい)

① 底を $2$ にそろえる。

$1 = 2^{0}, 2 = 2^{\frac{1}{2}}, 34 = (2^{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

② 指数を比べる。 $0$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{2}{3}$ を通分すると $\frac{0}{6}$ 、 $\frac{3}{6}$ 、 $\frac{4}{6}$ 。よって $0 < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ 。

底 $2 > 1$ の指数関数は増加関数なので、指数の大小がそのまま数の大小。

$1 < 2 < 34$

まとめ:形の違う累乗の大小は、底をそろえて指数を比べる。底が $1$ より大きいなら指数の大小がそのまま答え。

発展 — 一歩先へ。 「底を揃える」「累乗して整数化する」以外にも、大小比較の道具がある。対数をとる方法だ。

例: $2^{100}$ と $3^{60}$ は、どちらが大きいか?

巨大すぎて計算できない( $2^{100}$ は $31$ 桁の数だ)。累乗して整数化する手も使えない。

そこで、両方の常用対数をとる。

$lo g_{10} 2^{100} = 100 lo g_{10} 2 = 100 \times 0.3010 = 30.10$

$lo g_{10} 3^{60} = 60 lo g_{10} 3 = 60 \times 0.4771 = 28.63$

$30.10 > 28.63 ⟹ 2^{100} > 3^{60}$

巨大な数の比較が、小数点以下 $2$ 桁の比較に化けた。

なぜこれが正しいのか。 $lo g$ は増加関数だから、大小関係を保つ。

$A < B ⟺ lo g A < lo g B (A, B > 0)$

「対数をとっても、順序は変わらない」 — だから安心して対数の世界へ移せる。

この「対数を使って巨大な数を扱う」という発想が、対数を発明した動機だった。

$17$ 世紀、天文学者たちは巨大な数の掛け算に苦しんでいた。惑星の軌道計算では、 $10$ 桁 $\times$ $10$ 桁の掛け算を何百回も手計算する必要があった。

ネイピアは、掛け算を足し算に変える表(対数表)を作った。

$lo g (A B) = lo g A + lo g B$

掛け算 $\to$ 足し算。 計算時間が劇的に短縮され、「天文学者の寿命が $2$ 倍になった」と言われた。

電卓が登場するまでの $350$ 年間、対数表と計算尺(対数目盛の定規)が、科学技術の計算を支えていた。 アポロ計画の宇宙飛行士も、計算尺を持って月へ行った。

「大きすぎる数を、扱いやすい大きさに畳み込む」 — それが対数の使命であり、次の問題群で学ぶ内容の心臓部である。

答

$1 < 2 < 34$

別解

根号のまま比べる方法もある。「同じ乗数で累乗して、整数にする」ルートだ。 分数指数に不安があるときの、確実な逃げ道になる。

発想: $3$ つの数を、同じ回数だけ累乗して、根号を消す。

$2 = 2^{1/2}$ の根号を消すには $2$ 乗、 $34 = 4^{1/3}$ を消すには $3$ 乗。

両方を消すには、 $2$ と $3$ の最小公倍数 $= 6$ 乗すればよい。

$6$ 乗する。

$1^{6} = 1$

$(2)^{6} = (2^{\frac{1}{2}})^{6} = 2^{3} = 8$

$(34)^{6} = (4^{\frac{1}{3}})^{6} = 4^{2} = 16$

根号がすべて消えて、整数になった。

$1 < 8 < 16$

$6$ 乗した結果の大小が、元の数の大小と同じ( $3$ つとも正の数で、 $x^{6}$ は正の数の範囲で増加関数だから)。

$1 < 2 < 34 ✓$

指数を比べるルートと、同じ答え。

この方法の要点は「 $x^{6}$ が単調増加である」という事実だ。

$a < b ⟺ a^{6} < b^{6} (a, b > 0)$

正の数どうしなら、累乗しても大小関係は変わらない。

ただし、負の数が混じると崩れる。 $- 3 < 2$ だが、 $2$ 乗すると $9 > 4$ — 逆転する。 だから「両方とも正」という条件が不可欠だ。

数値でも確かめておこう。

$2 \approx 1.414, 34 \approx 1.587$

$1 < 1.414 < 1.587 ✓$

ちゃんと合っている。

どちらのルートを選ぶか。

底が揃えられる( $2$ のべきに書ける)→ 指数比較が速い
底がバラバラ( $2$ と $33$ など)→ 累乗して整数化

たとえば $2$ と $33$ を比べるなら、底を揃えられない( $2$ と $3$ は別物)。だから $6$ 乗する。

$(2)^{6} = 8, (33)^{6} = 3^{2} = 9$

$8 < 9 ⟹ 2 < 33$

根号の中身が違っても、比較できた。 この技は、大小比較の問題で必ず役に立つ。

ポイント

底をそろえれば、指数の大小で数の大小が決まる。
$a > 1$ は指数と同じ向き、 $0 < a < 1$ なら逆向き。

よくある間違い

根号の中身( $2$ と $4$ )だけを比べて、 $2 > 34$ と誤る
$34$ を $2$ のべきに直せず、比較の土俵に乗せられない
累乗して比べるとき、負の数が混じっていないかの確認を怠る(正の数どうしでのみ大小が保たれる)