数学II / 指数関数・対数関数
桁数と最高位の数字
問題
について、桁数と最高位の数字を求めよ。ただし 、 とする。
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桁数は常用対数の整数部分から。最高位の数字は、小数部分 に対して がどの整数の間に挟まるかで決まる — 与えられた対数の値を境目として使おう。
解答・解説
方針
を計算する。整数部分から桁数が、小数部分から最高位の数字が分かる。小数部分 について となる が最高位。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 そのものは巨大で書き出せない。だが常用対数 なら手が届く。
その整数部分から桁数が読める。小数部分からは最高位の数字が読める。
最高位 は で決まる。「整数部=桁数、小数部=最高位」という二重の情報を使い分けるのが発想だ。
① を求める。 。
② 桁数を出す。 整数部分は なので
③ 最高位を出す。 小数部分は 。 なので、先頭の数字は で決まる。、 と比べる。
よって 、最高位の数字は 。
まとめ:桁数は整数部分 、最高位は小数部分 を たちと比べる。 が 台なら先頭は 。整数部と小数部を役割分担で読むのがポイントだ。
発展 — 一歩先へ。 小数部分は最高位の 桁だけでなく、その先の数桁も握っている。
本問の小数部分は 。 だから、最高位は 、しかも次の桁まで見れば は で始まると分かる(実際 )。 の値そのものが、先頭から数桁分の「顔つき」なのだ。
いっぽう整数部分は桁数、すなわち大きさの規模だけを担う。 を整数部と小数部に割ると、規模と先頭の模様がきれいに分業される。
桁、最高位の数字は
別解
別解 — 実際にざっと計算してしまう(苦手な人向けの直球ルート)。 対数を使わず、 の大きさを直に見積もる。
だから、まず を出す。 なので 。これは約 。
乗すると 。
は 桁で、先頭は 。常用対数を整数部・小数部に分ける本解と、同じ「 桁・最高位 」にたどり着く。実際の値も ( 桁)で一致する。
ポイント
- 整数部 → 桁数、小数部 → 最高位。
- 最高位 は 。
よくある間違い
- 桁数を整数部分 そのままとし、 を忘れて 桁と答える。
- 最高位を、小数部分でなく整数部分 から求めようとする。
- 小数部分 を 、 ではなく 等と比べ、最高位を取り違える。