指数関数のグラフ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=2^x$ のグラフを、値の表から起こしてみる。

$3$ つのことが読み取れる。

定義域: $x$ にはどんな実数を入れてもよい($2^{-100}$ でも $2^{3.7}$ でも計算できる)。

$$\text{定義域: 実数全体}$$

値域: $y$ は必ず正。どんなに $x$ を小さくしても、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{16}$、$\frac{1}{32}$ $\dots$ と $0$ に近づくが、決して $0$ にはならない。

$$\text{値域: }y>0$$

増減: $x$ が増えると $y$ も増える。

$$\text{増加関数}$$

「$0$ に近づくが $0$ にならない」 — $x$ 軸が漸近線になっている。

$y=2^x$ は $a=2>1$ の指数関数。

• 定義域:$x$ にはどんな実数を入れてもよいので、実数全体。
• 値域:$2^x$ は $x$ が大きな負でも $0$ に近づくだけで、$0$ や負にはならない。よって $y>0$。
• 増減:$a=2>1$ なので $x$ が増えると $y$ も増える。増加関数。

発展 — 一歩先へ。 指数関数には、特別な底がある。ネイピア数 $e=2.71828\dots$ だ。

なぜ $e$ が特別なのか。 $y=e^x$ は、微分しても自分自身になる唯一の関数だからだ(定数倍を除いて)。

$${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$$

グラフのどの点でも、「高さ」と「傾き」が等しい。 高さ $5$ のところでは傾きも $5$、高さ $100$ のところでは傾きも $100$ — 増え方が、現在の量に比例する。

これは、自然界のあらゆる「自己増殖」の法則そのものである。

$$\frac{dy}{dx}=y(\text{増加率}\propto \text{現在の量})$$

• 細菌: 数が多いほど、増える速さも大きい
• お金(複利): 元本が多いほど、利息も多い
• 放射性崩壊: 原子が多いほど、崩壊する数も多い(こちらは減少なので $\frac{dy}{dx}=-ky$)
• 人口増加: 人が多いほど、生まれる子も多い

「変化率が、現在の量に比例する」現象は、必ず $e^{kx}$ の形になる。 これは微分方程式の最も基本的な解であり、自然を記述する第一の関数なのだ。

$e$ の定義の $1$ つは、複利から出てくる。

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

「年利 $100\%$ を、$n$ 回に分けて複利計算する」 — $1$ 回なら $2$ 倍、$2$ 回なら $(1.5{)}^2=2.25$ 倍、$12$ 回なら約 $2.613$ 倍 $\dots$ 無限に細かく分けると、$e\approx 2.718$ 倍に収束する。

「連続複利の極限」が $e$。 銀行の利息計算から、自然界の成長法則まで、$1$ つの数がつないでいる。

$y=2^x$ を学ぶことは、$y=e^x$ への準備運動である。 数IIIで、この特別な関数が主役になる。

別解

底が変わると、グラフはどう変わるか。 それを押さえておけば、指数関数のすべてが見える。

底が $1$ より大きいとき($a>1$)。

$y=2^x$、$y=3^x$、$y=10^x$ — どれも増加関数。

底が大きいほど、急激に増える。 $x=3$ で比べると

$$2^3=8,3^3=27,10^3=1000$$

底が $1$ より小さいとき($0<a<1$)。

$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ の値の表を作る。

$x$ が増えると、$y$ は減る — 減少関数だ。

なぜか。 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$ と書き直せば分かる。$y=2^x$ を、$y$ 軸で折り返したグラフである($x\to -x$)。

$$\boxed{a>1\to \text{増加},0<a<1\to \text{減少}}$$

この違いが、不等式を解くときに決定的になる(問題 $6$ で使う)。

すべての指数関数に共通する性質。

共通1: 必ず点 $(0,1)$ を通る。

$$a^0=1(\text{どんな底でも})$$

すべての指数関数のグラフが、$1$ 点 $(0,1)$ で交わる — きれいな事実だ。

共通2: 値域はいつも $y>0$。

正の数を何乗しても、正である。$0$ にも負にもならない。

共通3: $x$ 軸が漸近線。

$a>1$ なら $x\to -\infty$ で、$0<a<1$ なら $x\to +\infty$ で、$0$ に限りなく近づく。

この「$0$ に近づくが $0$ にならない」性質が、現実の現象を記述する。

放射性物質の崩壊。 半減期ごとに半分になるが、完全にゼロにはならない(数学的には)。

$$\text{残量}=(\text{初期量})\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$$

薬の血中濃度。 体内から少しずつ抜けていくが、指数的に減衰する。

コーヒーの冷め方(ニュートンの冷却法則)。 室温との温度差が、指数的に減っていく。

そして、増加のほうも劇的だ。

細菌の増殖、複利、ムーアの法則(半導体の性能は $2$ 年で $2$ 倍)、SNS の情報拡散 — すべて $y=a^x$ の形をしている。

「指数関数的」という言葉が、日常語として使われるほど、この関数は現実を支配している。

$1$ 枚の紙を $42$ 回折ると、月に届く。($0.1$ mm $\times 2^{42}\approx 44$ 万 km。実際には折れないが、計算はこうなる。)

指数の増え方は、人間の直感を軽々と超える。 その恐ろしさを知っておくことも、この関数を学ぶ意味である。