対数方程式(両辺の対数をとる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 指数の位置に ${\log }_{10}x$ が乗っている異形の方程式。指数にある対数を降ろすには、両辺の対数をとるのが定石だ。

左辺は $\log (x^{\log x})=({\log }_{10}x{)}^2$ と、対数の2乗が現れる。右辺は $\log 1000+2{\log }_{10}x=3+2{\log }_{10}x$。

$t={\log }_{10}x$ とおけば $t^2=3+2t$、ただの2次方程式である。$t$ の各解を $x=10^t$ に戻して仕上げる。

① 両辺の対数をとる。 $x>0$ で $${\log }_{10}(x^{{\log }_{10}x})={\log }_{10}(1000x^2)⟹({\log }_{10}x{)}^2=3+2{\log }_{10}x.$$ ② $2$ 次方程式に。 $t={\log }_{10}x$ とおくと $$t^2=3+2t⟹t^2-2t-3=0⟹(t-3)(t+1)=0,$$ $t=3$ または $t=-1$。

③ $x$ に戻す。 ${\log }_{10}x=3\Rightarrow x=10^3=1000$、${\log }_{10}x=-1\Rightarrow x=10^{-1}=\frac{1}{10}$。どちらも $x>0$ を満たす。

まとめ 両辺の対数で $(\log x{)}^2=3+2\log x$、$t=\log x$ で $t^2-2t-3=0$、$x=1000,\frac{1}{10}$。対数方程式と $2$ 次方程式の融合。対数をとって肩を下ろすのが核心。

発展 — 一歩先へ。 $y=x^{{\log }_{10}x}$ は ${\log }_{10}y=({\log }_{10}x{)}^2$、つまり両軸を対数目盛りにしたグラフ(両対数グラフ)の上では放物線になる。データ解析で両対数プロットが直線や放物線を浮かび上がらせるのは、この「指数・べきの構造が対数で多項式になる」仕組みそのものである。

別解

別解 — $x=10^t$ の指数表示で書き換える(得意な人向けの一撃)。 「対数をとる」代わりに、最初から $x=10^t$ と指数の形で書いてしまう($x>0$ なので必ず書ける)。

左辺は

$$x^{{\log }_{10}x}=(10^t{)}^t=10^{t^2}.$$

右辺は $1000x^2=10^3\cdot 10^{2t}=10^{3+2t}$。$10$ のべきどうしが等しいから指数を比べて

$$t^2=3+2t⟺(t-3)(t+1)=0⟺t=3,-1.$$

$x=10^3=1000$ と $x=10^{-1}=\frac{1}{10}$。検算すると $1000^3=10^9=1000\cdot 1000^2$、$0.1^{-1}=10=1000\cdot 0.01$ でどちらも成立。

「両辺の対数をとる」(本解)と「両辺を $10$ のべきで書く」(この解)は同じことの表裏だが、指数表示は $\log$ の入れ子を書かずに済む分、式が軽い。