数学II / 指数関数・対数関数

対数関数の最大・最小(置き換え)

★★ 標準最大最小置き換え

問題

$1 ≦ x ≦ 8$ のとき、 $y = (lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x^{2} + 3$ の最大値と最小値を求めよ。

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まず $lo g_{2} x^{2}$ を係数の形に直す。そのうえで $lo g_{2} x$ を $1$ つの文字とみなすと $2$ 次関数になる。 $x$ の範囲から文字の範囲を出して、放物線で考えよう。

解答・解説

方針

$lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ に直すと、 $t = lo g_{2} x$ の2次関数になる。 $x$ の範囲から $t$ の範囲を出し、放物線の頂点と両端を調べる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(lo g_{2} x)^{2}$ と $lo g_{2} x^{2}$ 。よく似た2つは別物だ。後者は $2 lo g_{2} x$ と1次に開ける。

$t = lo g_{2} x$ とおくと $y = t^{2} - 2 t + 3$ の2次関数になる。

急所はやはり $t$ の範囲。 $1 \leq x \leq 8$ を $lo g_{2}$ に通して $0 \leq t \leq 3$ 。この区間で頂点と両端を調べる。

公式

lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M

、平方完成

t^{2} - 2 t + 3 = (t - 1)^{2} + 2

① $lo g_{2} x^{2}$ を直して置き換える。 $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ なので、 $t = lo g_{2} x$ とおくと

$y = t^{2} - 2 t + 3 = (t - 1)^{2} + 2$

② $t$ の範囲を出す。 $lo g_{2} x$ は増加関数なので、 $1 ≦ x ≦ 8$ から

$lo g_{2} 1 ≦ t ≦ lo g_{2} 8, つまり 0 ≦ t ≦ 3$

③ 放物線で読む。 頂点 $t = 1$ (範囲内)で最小、頂点から遠い端 $t = 3$ で最大。

$最小 (t = 1) : y = 2, 最大 (t = 3) : y = 9 - 6 + 3 = 6$

y=(t-1)^2+2(横軸 t=log_2 x、0≦t≦3)。頂点t=1で最小2、右端t=3で最大6

④ $x$ に戻す。 $t = 1$ は $lo g_{2} x = 1$ すなわち $x = 2$ 、 $t = 3$ は $x = 8$ 。

$最大値 6 (x = 8), 最小値 2 (x = 2)$

まとめ:対数の最大最小も「 $lo g$ を1文字 $t$ に → $t$ の範囲 → 放物線」。まず $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ と直して1文字にまとめるのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ が使えたのは $x > 0$ の範囲だからだ。 $x$ が負も動く一般の場面では $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} ∣ x ∣$ と絶対値が要る。真数を2乗が守ってくれる分、条件がゆるむ — この微妙な差は、方程式で解が増減する事故の火種になる。

置きかえの2次関数という骨格は指数版とまったく同じ。2問をセットで復習すると、「新変数の範囲」という急所が単元を貫いていることが体でわかる。

答

最大値 $6$ ( $x = 8$ )、最小値 $2$ ( $x = 2$ )

別解

指数の問題(同じ2次式 $t^{2} - 2 t + 3$ が出た問題)と並べて見ると、この単元の設計が見える。

そちらでは $t = 2^{x}$ で範囲 $[\frac{1}{2}, 4]$ 、今回は $t = lo g_{2} x$ で範囲 $[0, 3]$ 。中身の2次関数はまったく同じだ。

候補表で仕上げる。 $y = (t - 1)^{2} + 2$ 、頂点 $t = 1$ は範囲内。

左端 $t = 0$ ( $x = 1$ ): $y = 3$
頂点 $t = 1$ ( $x = 2$ ): $y = 2$ — 最小
右端 $t = 3$ ( $x = 8$ ): $y = 6$ — 最大

指数と対数は互いに逆関数だから、置きかえ先の風景も鏡写しになる( $2^{x}$ は $x$ の等差を $t$ の等比に、 $lo g_{2} x$ は $x$ の等比を $t$ の等差に変える)。 $x = 1, 2, 4, 8$ が $t = 0, 1, 2, 3$ と等間隔に並ぶのが、その鏡の証拠だ。

ポイント

$lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ で1文字にまとめる。
$x$ の範囲 → $t = lo g_{2} x$ の範囲へ。

よくある間違い

$lo g_{2} x^{2}$ と $(lo g_{2} x)^{2}$ を混同する
$t$ の範囲 $[0, 3]$ を出さずに全実数で頂点だけ見る
最小をとる $t = 1$ を $x = 2$ に戻し忘れる