数学II / 指数関数・対数関数

対数の和(望遠鏡)

最難関編対数の性質数列の和

問題

$n$ を自然数とする。 $k = 1 \sum n lo g_{2} (1 + \frac{1}{k})$ を求めよ。

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対数の和は真数の積。 $1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}$ を積にすると、分子分母が次々に消える。

解答・解説

方針

$lo g_{2} (1 + \frac{1}{k}) = lo g_{2} \frac{k + 1}{k}$ 。対数の和は真数の積で、 $\frac{k + 1}{k}$ の積が望遠鏡で約分される。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対数の和を見たら「真数の積」を思い出す。 $lo g$ の中に入れてしまえば、 $1 + \frac{1}{k}$ たちの掛け算の問題になる。

$1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}$ と直すと、積は $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \dots$ という形。分子と次の分母が同じ数だから、次々に約分で消えていく(望遠鏡)。

生き残るのは最初の分母と最後の分子だけ。この消える構造が見えたら、あとは書くだけだ。

公式対数の和は真数の積:

\sum lo g_{2} x_{k} = lo g_{2} \prod x_{k}

① 真数を整理する。 $1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}$ だから

$k = 1 \sum n lo g_{2} \frac{k + 1}{k} = lo g_{2} k = 1 \prod n \frac{k + 1}{k} = lo g_{2} (\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{n + 1}{n})$

② 望遠鏡で約分する。 隣り合う分子・分母が消え、残るのは $\frac{n + 1}{1} = n + 1$ 。

$k = 1 \sum n lo g_{2} (1 + \frac{1}{k}) = lo g_{2} (n + 1)$

まとめ:「対数の和=真数の積」で $lo g$ の外に出し、 $\frac{k + 1}{k}$ の積を望遠鏡で約分する。対数と数列(望遠鏡積)の融合。

発展 — 一歩先へ。 この和は $n \to \infty$ でいくらでも大きくなる( $lo g_{2} (n + 1) \to \infty$ )。各項は $0$ に近づくのに和は発散する、という点で調和級数 $\sum \frac{1}{k}$ の親戚だ。実際、自然対数を学ぶと $ln (1 + \frac{1}{k}) \leq \frac{1}{k}$ から $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \geq ln (n + 1)$ が出て、本問の型がそのまま調和級数の発散証明になる。

答

$lo g_{2} (n + 1)$

別解

引き算の形で消す(階差の望遠鏡)。 積で消す代わりに、各項を差の形に割ってもよい。

$lo g_{2} \frac{k + 1}{k} = lo g_{2} (k + 1) - lo g_{2} k$

これは数列 $f (k) = lo g_{2} k$ の隣どうしの差(階差)だ。 $k = 1$ から $n$ まで縦に並べて足すと

$(lo g_{2} 2 - lo g_{2} 1) + (lo g_{2} 3 - lo g_{2} 2) + \dots + (lo g_{2} (n + 1) - lo g_{2} n)$

途中の項がすべて打ち消し合い、 $lo g_{2} (n + 1) - lo g_{2} 1 = lo g_{2} (n + 1)$ が残る。

真数の積で消す(本解)か、対数の差で消す(本ルート)か。 $lo g$ が「積を和に変える装置」だからこそ、積の望遠鏡と和の望遠鏡が同じ問題の表裏になる。 $\sum (f (k + 1) - f (k)) = f (n + 1) - f (1)$ の型は、部分分数の和と同じ骨格だ。

ポイント

対数の和=真数の積。
$\prod \frac{k + 1}{k} = n + 1$ (望遠鏡)で $lo g_{2} (n + 1)$ 。

よくある間違い

$lo g_{2} a + lo g_{2} b = lo g_{2} (a + b)$ とする(対数の和は真数の積)。
望遠鏡の生き残りを取り違えて $lo g_{2} n$ と答える。最初の分母は $1$ 、最後の分子は $n + 1$ 。 $n = 1$ の検算( $lo g_{2} 2 = 1$ )で気づける。
$lo g_{2} 1 = 0$ を忘れて、階差の望遠鏡の端に余計な定数を残す。