対数方程式(真数条件)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対数方程式の作法は、手を動かす前に「真数条件」から。$x>0$ かつ $x-2>0$、まとめて $x>2$。

左辺を和の法則で1つにまとめる。${\log }_{2}x(x-2)=3$。

定義に戻って外すと $x(x-2)=2^3=8$。2次方程式を解き、最後に真数条件 $x>2$ の検問を通った解だけを答える。

① 真数条件を書く。 真数は両方とも正でなければならない。

$$x>0\text{かつ}x-2>0\Rightarrow x>2$$

② 左辺を1つの対数にまとめる。 和は真数のかけ算。

$${\log }_{2}x(x-2)=3$$

③ 定義で外して解く。 ${\log }_{2}M=3$ は $M=2^3=8$。

$$x(x-2)=8\Rightarrow x^2-2x-8=0\Rightarrow (x-4)(x+2)=0$$

よって $x=4$ または $x=-2$。

④ 真数条件で絞る。 $x>2$ を満たすのは $x=4$ だけ。$x=-2$ は不適。

$$x=4$$

まとめ:対数方程式は「真数条件 → まとめる → 定義で外す → 条件で絞る」。$x=-2$ のように条件を破る解を必ず落とすのが大事だ。

発展 — 一歩先へ。 「変形すると条件がゆるむ」現象は、2乗する変形($\sqrt{x}=x-2$ 型の無理方程式)でも同じ形で現れる。同値性が崩れる変形をしたら、最初の条件で最後に検問 — この作法は方程式全般の背骨だ。

真数条件は、対数関数の定義域($x>0$)の言い換えである。グラフの言葉でいえば「$y={\log }_{2}x$ の世界は $y$ 軸より右にしかない」。式の作法と、グラフの姿を、同じものとして持っておきたい。

別解

2次方程式 $x(x-2)=8$ は、展開して解の公式へ行く前に「整数の感覚」で見抜ける形だ。

「積が $8$ で、差が $2$ の2数」を探している。$4$ と $2$ がすぐ見つかる($4\times 2=8$、$4-2=2$)。

だから $x=4$(と、負の側の $x=-2$)。

検算も軽い。$x=4$ なら ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$。確かに成立。

もう1つの候補 $x=-2$ は、真数条件 $x>2$ で落ちる。ここで大事なのは、真数条件を「変形前の式」の各真数($x$ と $x-2$)に課すことだ。まとめた後の $x(x-2)>0$ で判定すると、$x=-2$ も通ってしまう(負×負=正)。条件は変形でゆるむ — だから最初に課す。この理屈まで言えると、作法が暗記でなくなる。