数学II / 指数関数・対数関数

累乗の桁数と最高位の数字

★★★★ 難関常用対数桁数最高位

問題

$1 2^{20}$ は何桁の整数か。また、その最高位の数字を求めよ。ただし $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。

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$lo g_{10} 1 2^{20}$ を求める。 $12 = 2^{2} \cdot 3$ に注意。桁数は $[lo g N] + 1$ 。最高位は、対数の小数部分から $1 0^{(小数部分)}$ を評価する。

解答・解説

方針

$lo g_{10} 1 2^{20} = 20 (2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3)$ を計算する。桁数は「整数部分 $+ 1$ 」。最高位は、小数部分 $α$ に対して $1 0^{α}$ が何と何の間かで決まる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 巨大な数 $1 2^{20}$ の桁数と最高位。実際に計算はできない。

桁数は常用対数( $底 10$ )で分かる。 $lo g_{10} N$ の整数部分に $1$ を足すと桁数。

まず $lo g_{10} 1 2^{20} = 20 lo g_{10} 12$ を、 $12 = 2^{2} \cdot 3$ を使って $2$ と $3$ の対数で計算する。

最高位は、 $lo g$ の小数部分 $α$ から $1 0^{α}$ が何と何の間かで決まる。

公式

N

の桁数

= [lo g_{10} N] + 1

。

lo g_{10} N = (整数部分) + α

のとき最高位は

1 0^{α}

が入る整数区間で決まる

① 常用対数を計算する。 $12 = 2^{2} \cdot 3$ より

$lo g_{10} 1 2^{20} = 20 lo g_{10} 12 = 20 (2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3) = 20 (2 \cdot 0.3010 + 0.4771)$ $= 20 (0.6020 + 0.4771) = 20 \cdot 1.0791 = 21.582$

② 桁数。 整数部分は $21$ だから、桁数は

$21 + 1 = 22 桁$

③ 最高位。 小数部分は $0.582$ 。 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ 、 $lo g_{10} 4 = 2 lo g_{10} 2 = 0.6020$ で

$0.4771 < 0.582 < 0.6020 ⟹ 3 < 1 0^{0.582} < 4$

よって最高位の数字は $3$ 。

まとめ:桁数・最高位は「常用対数を整数部分 + 小数部分に分ける」。整数部分 $21$ → $22$ 桁。小数部分 $0.582$ を $lo g 3, lo g 4$ ではさんで最高位 $3$ 。 $12 = 2^{2} \cdot 3$ の分解が計算のカギ。

発展 — 一歩先へ。 桁数 $= ⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$ 、最高位 $= 1 0^{{l o g_{10} N}}$ の整数部( ${\cdot}$ は小数部分)。 $lo g_{10} N$ の整数部が「大きさの桁」、小数部が「先頭の数字の模様」を担う。ベンフォードの法則(自然界の数の最高位が $1$ に偏る)も、この小数部の分布から説明される。

答

$22$ 桁、最高位の数字は $3$

別解

別解 — $1 2^{20} = 2^{40} \cdot 3^{20}$ と素因数で開く(得意な人向けの視点)。 $12 = 2^{2} \cdot 3$ だから $1 2^{20} = (2^{2} \cdot 3)^{20} = 2^{40} \cdot 3^{20}$ 。

常用対数は積を和にほどく。

$lo g_{10} 1 2^{20} = 40 lo g_{10} 2 + 20 lo g_{10} 3 = 40 (0.3010) + 20 (0.4771) = 12.040 + 9.542 = 21.582.$

整数部分 $21$ に $1$ を足して $22$ 桁。

最高位は小数部分 $0.582$ で決まる。 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ 、 $lo g_{10} 4 = 2 lo g_{10} 2 = 0.6020$ だから $0.4771 < 0.582 < 0.6020$ 。よって $3 < 1 0^{0.582} < 4$ 、最高位は $3$ 。

$12 = 2^{2} \cdot 3$ を「 $1$ 個の因子」として $20 (2 lo g 2 + lo g 3)$ とする本解と、 $2^{40} \cdot 3^{20}$ に開くこの解は、掛ける順序が違うだけで同じ $21.582$ 。素因数の肩を先に $20$ 倍しておくと、 $2$ と $3$ の対数がそのまま係数になって見通しがよい。

ポイント

$lo g_{10} 1 2^{20} = 20 (2 lo g 2 + lo g 3) = 21.582$ 。
整数部分 $21$ → $22$ 桁、小数部分 $0.582$ が $lo g 3 \sim lo g 4$ で最高位 $3$ 。

よくある間違い

桁数を「整数部分」そのものとし、 $+ 1$ を忘れて $21$ 桁と答える。
最高位を、小数部分でなく整数部分から求めようとする。
小数部分 $0.582$ の位置を、 $lo g_{10} 3$ と $lo g_{10} 4$ ではなく別の値と比べて最高位を誤る。