累乗根の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。  ​ の計算で $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ とそろえたのと同じことを、3乗根でやる。

中身を「立方数 × 残り」に分ける。$54=27\times 2$、$16=8\times 2$。

$\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}$、$\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$ と外へくくり出せば、共通の $\sqrt[3]{2}$ の係数の足し引き $3-2+1=2$ で終わる。

① 中身を「立方数 × 2」に分ける。

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times 2}=3\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}=2\sqrt[3]{2}$$

② $\sqrt[3]{2}$ でそろえて計算する。 3つとも $\sqrt[3]{2}$ の何倍かになった。

$$3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}=(3-2+1)\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$

まとめ:累乗根の足し引きは、中身を「立方数 × 残り」に分けて、同じ根号でそろえるのが基本。 ​ で $\sqrt{2}$ をそろえるのと同じ考え方だ。

発展 — 一歩先へ。 平方根の計算規則($\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ など)が3乗根・$n$ 乗根でも同じ形で成り立つのは、どれも分数指数の指数法則の特別な場合だからだ。規則を根号ごとに覚え直す必要はない。

なお、平方根で問題になった「中身が負のときの罠」は、3乗根では起きない($\sqrt[3]{-8}=-2$ と定義できる)。奇数乗根は負の数にも素直で、偶数乗根だけが符号に敏感— この対比も頭に置いておくと安全だ。

別解

分数指数の言葉に翻訳すると、同じ計算が指数法則の練習に変わる。

$\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$ だから

$$54^{\frac{1}{3}}=(3^3\times 2{)}^{\frac{1}{3}}=3\cdot 2^{\frac{1}{3}},16^{\frac{1}{3}}=(2^3\times 2{)}^{\frac{1}{3}}=2\cdot 2^{\frac{1}{3}}$$

$(ab{)}^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}$ という積の指数法則が、「立方数をくくり出す」操作の正体だ。

$$3\cdot 2^{\frac{1}{3}}-2\cdot 2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}=2\cdot 2^{\frac{1}{3}}=2\sqrt[3]{2}$$

累乗根の記号と分数指数は同じものの2つの書き方で、計算に強いのは指数のほう。「困ったら分数指数に直す」は、この単元全体の避難路である。