指数が等しいときの逆数の関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3つの累乗が同じ値になる、という条件は、共通の値に名前を付けると動き出す。$2^x=3^y=6^z=k$ とおく。

示したい式には $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$ が並んでいる。指数の逆数は、対数の「底と真数の交換」で作れる:$x={\log }_{2}k$ の逆数は $\frac{1}{x}={\log }_{k}2$ だ。

すると3つの逆数が、すべて底 $k$ の対数にそろう。あとは $6=2\cdot 3$ が対数の和に化けて、逆数の関係が出る。

① 共通の値でそろえる。 $2^x=3^y=6^z=k$ とおく($x,y,z>0$ より $k>1$)。$2^x=k⟺x={\log }_{2}k⟺\frac{1}{x}={\log }_{k}2$ だから

$$\frac{1}{x}={\log }_{k}2,\frac{1}{y}={\log }_{k}3,\frac{1}{z}={\log }_{k}6$$

② $6=2\cdot 3$ を使う。 対数の性質より

$$\frac{1}{z}={\log }_{k}6={\log }_k(2\cdot 3)={\log }_{k}2+{\log }_{k}3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$

よって $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$。

まとめ:指数が下にある等式は「共通値 $=k$ とおき、$\frac{1}{(\text{指数})}={\log }_k(\text{底})$」に翻訳するのが急所。あとは $6=2\cdot 3$ が対数の和になり、逆数の関係が自然に出る。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ を $z$ について解くと $z=\frac{xy}{x+y}$。電気回路で抵抗を並列につないだときの合成抵抗と同じ式だ。一般に $a^x=b^y=(ab{)}^z$ ならこの関係が成り立つ。底の掛け算が、指数の「並列合成」に対応している。

別解

対数を書かずに、指数の言葉のまま。 $2^x=3^y=6^z=k$ とおくところまでは同じ。ここで各式を逆に読むと

$$2=k^{1/x},3=k^{1/y},6=k^{1/z}$$

$2\cdot 3=6$ に代入すると

$$k^{1/x}\cdot k^{1/y}=k^{1/z}⟹k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=k^{\frac{1}{z}}$$

$x,y,z>0$ より $k=2^x>1$。$k>1$ の累乗は指数について単調だから、累乗が等しければ指数も等しい。よって $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$。

対数の記号が1つも出てこないのが持ち味だ。「対数とは指数の言い換えである」ことが腑に落ちる書き方でもある。常用対数をとって $x{\log }_{10}2=y{\log }_{10}3=z{\log }_{10}6$ から始める手もあり、どれも同じ骨格になる。