数学II / 指数関数・対数関数

指数関数の最大・最小(範囲つき)

★★★ 応用最大最小置き換え

問題

$0 ≦ x ≦ 3$ のとき、 $y = 4^{x} - 2^{x + 2} + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

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置きかえて $2$ 次関数、までは順調のはず。勝負は文字の動く範囲と頂点の位置関係 — 頂点は範囲の中にあるか、最大はどちらの端で起きるか。

解答・解説

方針

$t = 2^{x}$ で2次関数に直す。 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x} = 4 t$ の変形に注意。 $x$ の範囲から $t$ の範囲を出し、頂点と両端で最大・最小を調べる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $t = 2^{x}$ とおけば $2$ 次関数に直せそうだ。

ただし $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x} = 4 t$ の変形を落とさないのが急所。指数の $+ 2$ は、係数 $4$ となって外に出る。

あとは $x$ の範囲を $t$ の範囲に移し、放物線として頂点と両端で最大最小を調べればよい。

公式

2^{x + 2} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}

、平方完成

t^{2} - 4 t + 5 = (t - 2)^{2} + 1

① $t = 2^{x}$ で2次関数にする。 $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x} = 4 t$ 。

$y = t^{2} - 4 t + 5 = (t - 2)^{2} + 1$

② $t$ の範囲を出す。 $2^{x}$ は増加関数なので $0 ≦ x ≦ 3$ から

$2^{0} ≦ t ≦ 2^{3}, つまり 1 ≦ t ≦ 8$

③ 放物線で読む。 頂点 $t = 2$ (範囲内)で最小、頂点から遠い端 $t = 8$ で最大。

$最小 (t = 2) : y = 1, 最大 (t = 8) : y = 64 - 32 + 5 = 37$

y=(t-2)^2+1(横軸 t=2^x、1≦t≦8)。頂点t=2で最小1、右端t=8で最大37

④ $x$ に戻す。 $t = 2$ は $x = 1$ 、 $t = 8$ は $x = 3$ 。

$最大値 37 (x = 3), 最小値 1 (x = 1)$

まとめ: $2^{x + 2}$ のような「ずれた指数」は $4 \cdot 2^{x}$ と分けて $t$ に直す。あとは $t$ の範囲を出して放物線、が指数の最大最小の型だ。

発展 — 一歩先へ。 置換で $y = (t - 2)^{2} + 1$ という上に開いた放物線になった。上に開いた放物線を閉区間で見るとき、最大は必ず「軸から遠いほうの端」で起こる。

一般に $y = a (t - p)^{2} + q$ ( $a > 0$ )を $α \leq t \leq β$ で調べると、最小は軸 $t = p$ が区間に入ればそこ、外れれば近い端。最大はつねに軸から遠い端だ。本問は軸 $t = 2$ が区間 $[1, 8]$ に入り、遠い端は $t = 8$ だった。

もし両端が軸から等距離なら、最大は両端の $2$ か所で同時に起こる。「頂点の位置」だけでなく「区間が軸に対してどう乗るか」が、最大最小の場所を決める。

答

最大値 $37$ ( $x = 3$ )、最小値 $1$ ( $x = 1$ )

別解

別解 — 値を追って山の形をつかむ(苦手な人向けの実験ルート)。 難しく考えず、 $x$ をいくつか入れて $y$ の動きを見る。

$x = 0, 1, 2, 3$ で $y = 4^{x} - 2^{x + 2} + 5$ を計算すると、順に $2, 1, 5, 37$ 。 $x$ が増えると $y$ は一度 $2 \to 1$ と下がり、そのあと $1 \to 5 \to 37$ と上がり続ける。

谷が $1$ つだけな理由は、 $t = 2^{x}$ が $x$ とともに着実に増え、 $y = (t - 2)^{2} + 1$ が $t = 2$ (つまり $x = 1$ )で $1$ 回だけ向きを変えるからだ。左では下がり、右では上がる。折り返しは一度きり。

だから最も低いのは谷底の $x = 1$ で $y = 1$ 、最も高いのは右端 $x = 3$ で $y = 37$ 。放物線の頂点と端を読む本解と同じ答えに、値を追うだけでたどり着く。

ポイント

$2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ と係数を分ける。
$t$ の範囲を出してから頂点・両端を調べる。

よくある間違い

$2^{x + 2}$ を $2 \cdot 2^{x}$ や $2^{x} + 4$ と誤り、 $4 \cdot 2^{x} = 4 t$ の形を作り損ねる。
$t = 2^{x}$ の変域を、 $0 \leq x \leq 3$ からそのまま $0 \leq t \leq 3$ としてしまい、正しい $1 \leq t \leq 8$ を取り違える。
上に開いた放物線の最大を頂点寄りの端 $t = 1$ と早合点し、軸から遠い端 $t = 8$ で最大になることを見落とす。