常用対数の文章題(半減期)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$5$ 年ごとに半分」を式にする。$n$ 回半減すれば量は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 倍だ。

求めたいのは、これが $\frac{1}{100}$ 以下になること。つまり ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\leqq \frac{1}{100}$ という不等式を立てる。

$n$ が指数の肩にいるので、${\log }_{10}$ をとって下ろす。最後に、回数 $n$ を年数 $5n$ に直すのを忘れないことが急所だ。

① 条件を式にする。 $5$ 年ごとに半分なので、$n$ 回半減($5n$ 年後)で ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 倍。条件は

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\leqq \frac{1}{100}$$

② 両辺の ${\log }_{10}$ をとる。 ${\log }_{10}\frac{1}{100}=-2$。

$$-n{\log }_{10}2\leqq -2\Rightarrow n{\log }_{10}2\geqq 2\Rightarrow n\geqq \frac{2}{0.3010}=6.6\dots$$

(両辺を $-1$ 倍したので不等号が逆になった点に注意。)

③ 最小の整数を選び、年数に直す。 $n$ は $6.6\dots$ 以上の最小の整数、つまり $n=7$。

$$\text{(確かめ)}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{1}{128}\leqq \frac{1}{100},{\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{1}{64}>\frac{1}{100}$$

半減 $7$ 回 $=5\times 7=35$ 年後。

まとめ:半減期の問題は「$n$ 回で ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 倍」。${\log }_{10}$ をとると $-1$ 倍で不等号が逆になる。整数 $n$ を出したら、$1$ 回あたりの年数($5$ 年)を掛けるのを忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 半減期の背後には、連続的な減衰 $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ がある。半減期 $T$ と減衰定数 $\lambda$ は $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ で結ばれる。

この連続モデルで $\frac{1}{100}$ になる時刻を出すと、$t=\frac{\ln 100}{\lambda }=\frac{5\ln 100}{\ln 2}\approx 33.2$ 年。ところが実際の減少は $5$ 年ごとに階段状に起こる。だから連続では $33.2$ 年でも、$5$ 年の区切りで初めて条件を満たすのは次の目盛り $35$ 年になる。

「連続なら約 $33$ 年、離散だから $35$ 年」。同じ現象を連続と離散のどちらで見るかで、答えの丸め方が変わる好例だ。

別解

別解 — 半分を数えるだけ(苦手な人向けの実験ルート)。 対数を持ち出さず、実際に半分にしていって数える。

条件 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\leqq \frac{1}{100}$ は、両辺の逆数をとれば $2^n\geqq 100$ と同じ。$2$ を何乗すれば $100$ に届くかを見ればよい。

$2^6=64$ はまだ $100$ に届かない。$2^7=128$ で初めて $100$ を超える。だから必要な半減回数は $n=7$。

$1$ 回が $5$ 年なので $5\times 7=35$ 年後。対数をとって $n\geqq \frac{2}{{\log }_{10}2}$ を解く本解と、同じ $35$ 年にたどり着く。$2$ の累乗を覚えていれば、対数なしで決まる。