対数の置換による最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\log }_{2}x$ が2か所に現れる。同じかたまりは1文字にするのが定石で、$t={\log }_{2}x$ とおく。

置換したら、範囲の翻訳を忘れない。$1\le x\le 8$ は $t={\log }_{2}x$ の単調増加により $0\le t\le 3$ に写る。

あとは閉区間上の2次関数 $y=t^2-2t$ の最大最小。平方完成して頂点と端点を見比べ、最後に $t$ を $x$ に戻して答える。

① 置換と範囲。 $t={\log }_{2}x$ とおく。$x=1\Rightarrow t=0$、$x=8\Rightarrow t=3$。${\log }_{2}x$ は単調増加だから $0\le t\le 3$。

② $2$ 次関数に。 $$y=t^2-2t=(t-1{)}^2-1.$$ 下に凸、頂点 $t=1$(範囲内)。

③ 最大・最小。

• 最小:頂点 $t=1$(=$x=2$)で $y=-1$。
• 最大:頂点から遠い端 $t=3$(=$x=8$)で $y=9-6=3$($t=0$ では $y=0$)。

よって最大値 $3$($x=8$)、最小値 $-1$($x=2$)。

まとめ $t={\log }_{2}x$ で $0\le t\le 3$、$y=(t-1{)}^2-1$。最小 $-1$($x=2$)、最大 $3$($x=8$)。対数(置換)と $2$ 次関数の融合。範囲の変換を忘れない。

発展 — 一歩先へ。 「零点の相乗平均が最小点」は偶然ではない。$y={\log }_{2}x\cdot {\log }_2\frac{x}{4}$ は $x\to \frac{4}{x}$ の置き換えで不変(2つの因数が入れ替わるだけ)で、この対称の中心が $x=2$。ふつうの放物線の「軸対称」が、対数の世界では「逆数型の対称」に化ける。

別解

別解 — 積の形にして「零点の相乗平均」を見る(得意な人向けの高い視点)。 $y$ を因数分解してみる。

$$y=({\log }_{2}x)({\log }_{2}x-2)={\log }_{2}x\cdot {\log }_2\frac{x}{4}.$$

$y=0$ となるのは $x=1$ と $x=4$。放物線(の対数版)の対称軸は、この2つの零点の「真ん中」にある。

ただし対数の目盛りでの真ん中だから、算術平均でなく相乗平均 $\sqrt{1\cdot 4}=2$。実際、最小は $x=2$ で起きている($t$ の世界の軸 $t=1$ は $x=2^1$)。

ふつうの放物線の軸が零点の算術平均であるのに対し、$\log$ を通した放物線の軸は零点の相乗平均 — 「対数は掛け算の世界の足し算」という原理が、最大最小の位置にまで顔を出す。