数学II / 指数関数・対数関数

指数の大小比較(対数をとる)

実戦編指数対数大小比較常用対数単元横断

問題

$lo g_{10} 2 = 0.3010, lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。 $3$ つの数 $3^{44}, 4^{33}, 5^{22}$ を大きい順に並べよ。

ヒントを見る

対数をとると $lo g 3^{44} = 44 lo g 3$ など。 $lo g 4 = 2 lo g 2$ 、 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2$ 。数値を比べる。

解答・解説

方針

指数が大きく直接比較できないので、常用対数をとって指数を前に出す。 $lo g 4 = 2 lo g 2$ 、 $lo g 5 = 1 - lo g 2$ を使って数値化し比べる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3^{44}$ と $4^{33}$ と $5^{22}$ — 指数も底も違う巨大数は、そのままでは比べられない。

大小比較の定番は常用対数をとること。 $lo g$ は単調増加だから、対数の大小がそのまま元の数の大小になる。

指数が前に降りて $44 lo g 3$ 、 $33 lo g 4 = 66 lo g 2$ 、 $22 lo g 5 = 22 (1 - lo g 2)$ 。与えられた $2$ つの値だけで全部が数値になる。

重要

lo g_{10} a^{n} = n lo g_{10} a

。

lo g_{10} 4 = 2 lo g_{10} 2

、

lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2

① 対数をとる。 $lo g 3^{44} = 44 lo g 3 = 44 \times 0.4771 = 20.99,$ $lo g 4^{33} = 33 lo g 4 = 33 \times 2 lo g 2 = 66 \times 0.3010 = 19.87,$ $lo g 5^{22} = 22 lo g 5 = 22 \times (1 - 0.3010) = 22 \times 0.6990 = 15.38.$ ② 大小。 $20.99 > 19.87 > 15.38$ 。対数は単調増加だから元の数も同じ順。 $3^{44} > 4^{33} > 5^{22} .$

常用対数の値で比較: log(5²²)=15.4 < log(4³³)=19.9 < log(3⁴⁴)=21.0 → 5²²<4³³<3⁴⁴

まとめ 常用対数をとって $20.99, 19.87, 15.38$ 、よって $3^{44} > 4^{33} > 5^{22}$ 。大小比較と常用対数の融合。 $lo g 4 = 2 lo g 2, lo g 5 = 1 - lo g 2$ の書き換えが要。

発展 — 一歩先へ。 「指数の公約数でくくる」と「対数をとる」は同じことの2つの顔だ。 $a^{x}$ と $b^{y}$ の比較は $x lo g a$ と $y lo g b$ の比較で、 $x, y$ を公約数 $d$ でくくるのは対数の両辺を $d$ で割ることに当たる。きれいにくくれるときは指数で、くくれない一般の場合は対数で — 使い分けが効く。

答

常用対数をとる。 $lo g 3^{44} = 44 \times 0.4771 = 20.99$ 、 $lo g 4^{33} = 33 \times 2 lo g 2 = 66 \times 0.3010 = 19.87$ 、 $lo g 5^{22} = 22 \times (1 - lo g 2) = 22 \times 0.6990 = 15.38$ 。よって $3^{44} > 4^{33} > 5^{22}$ 。

別解

別解 — 対数を使わず、指数を $11$ でそろえる(得意な人向けの一撃)。 指数 $44, 33, 22$ の最大公約数は $11$ 。そこで全部を「 $11$ 乗」の形にくくる。

$3^{44} = (3^{4})^{11} = 8 1^{11}, 4^{33} = (4^{3})^{11} = 6 4^{11}, 5^{22} = (5^{2})^{11} = 2 5^{11} .$

同じ $11$ 乗どうしなら、中身の大小がそのまま全体の大小( $x^{11}$ は正の範囲で単調増加)。

$81 > 64 > 25 ⟹ 3^{44} > 4^{33} > 5^{22} .$

対数表なし・計算ほぼゼロで順位が確定する。指数の公約数をくくる手は、大小比較でまず最初に試す価値がある。対数(本解)は公約数がないときの一般兵器だ。

ポイント

指数の大小は対数をとって比べる。
$lo g 4 = 2 lo g 2, lo g 5 = 1 - lo g 2$ 。
$20.99 > 19.87 > 15.38$ で $3^{44} > 4^{33} > 5^{22}$ 。

よくある間違い

$lo g_{10} 5$ が与えられていないと手が止まる( $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2$ の変換)。
$44 \times 0.4771$ などの掛け算で桁を誤る(2つの積の差は $1$ 前後 — 細かい計算ミスが順位を壊す)。
「底が大きいほど大きい」「指数が大きいほど大きい」と、片方だけ見て即断する。