数学II / 指数関数・対数関数

指数の対称式

★★★ 応用対称式指数

問題

$2^{x} + 2^{- x} = 3$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $4^{x} + 4^{- x}$

(2) $8^{x} + 8^{- x}$

ヒントを見る

$2^{x}$ と $2^{- x}$ の積がいくつになるかに注目 — そこが対称式の急所。和と積さえ分かれば、 $2$ 乗の和・ $3$ 乗の和は対称式の変形で作れる。

解答・解説

方針

$2^{x}$ と $2^{- x}$ をかけると $1$ (逆数どうし)。これが効く。与式を $2$ 乗・ $3$ 乗すれば、 $4^{x} + 4^{- x}$ や $8^{x} + 8^{- x}$ が顔を出す。 $a = 2^{x}$ 、 $b = 2^{- x}$ 、 $ab = 1$ の対称式と見るのがコツ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2^{x}$ と $2^{- x}$ は掛けると $1$ になる。逆数どうしだ。

この対称性が効く。与式を $2$ 乗すれば $4^{x} + 4^{- x}$ 、 $3$ 乗すれば $8^{x} + 8^{- x}$ が顔を出す。

「和の分かった逆数ペアは、 $2$ 乗・ $3$ 乗の展開で高次の和が出せる」。対称式の発想がそのまま使える。

重要

2^{x} \cdot 2^{- x} = 2^{0} = 1

。

a = 2^{x}

、

b = 2^{- x}

とみれば

ab = 1

の対称式

① 逆数の関係を確認する。 $2^{x} \cdot 2^{- x} = 2^{x - x} = 2^{0} = 1$ 。

(1) 与式を $2$ 乗する。まん中の項は $2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2$ 。

$(2^{x} + 2^{- x})^{2} = 4^{x} + 2 \cdot 2^{x} 2^{- x} + 4^{- x} = 4^{x} + 4^{- x} + 2$

左辺は $3^{2} = 9$ なので

$9 = 4^{x} + 4^{- x} + 2 \Rightarrow 4^{x} + 4^{- x} = 7$

(2) 与式を $3$ 乗する。 $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)$ で $ab = 1$ 。

$(2^{x} + 2^{- x})^{3} = 8^{x} + 8^{- x} + 3 \cdot 1 \cdot (2^{x} + 2^{- x})$

左辺は $3^{3} = 27$ 、右端の $(2^{x} + 2^{- x}) = 3$ なので

$27 = 8^{x} + 8^{- x} + 3 \times 3 \Rightarrow 8^{x} + 8^{- x} = 27 - 9 = 18$

まとめ: $2^{x}$ と $2^{- x}$ は積が $1$ の逆数ペア。「和が分かっているとき $2$ 乗・ $3$ 乗で高次の和が出る」対称式の技がそのまま使える。

発展 — 一歩先へ。 $s_{n} = 2^{n x} + 2^{- n x}$ とおくと、この量は $1$ 本の漸化式で次々に決まる。

$2^{x}$ と $2^{- x}$ は積が $1$ なので $s_{n + 1} = (2^{x} + 2^{- x}) s_{n} - s_{n - 1} = 3 s_{n} - s_{n - 1}$ が成り立つ。 $s_{0} = 2$ 、 $s_{1} = 3$ から $s_{2} = 7$ 、 $s_{3} = 18$ 、 $s_{4} = 47$ と、割り算も展開もなしに芋づる式で出る。

和 $c$ をもつ逆数ペアの高次和は、 $2 cos n θ$ が満たすのと同じ形の三項間漸化式 $a_{n + 1} = c a_{n} - a_{n - 1}$ に乗る。 $1$ つの対称式から無限個の高次和が生まれる、チェビシェフ多項式に通じる構造だ。

答

(1) $7$ (2) $18$

別解

別解 — $2^{x}$ を実際に求めてしまう(苦手な人向けの直球ルート)。 $u = 2^{x}$ とおくと $2^{- x} = \frac{1}{u}$ 。与式は $u + \frac{1}{u} = 3$ 。

分母を払うと $u^{2} - 3 u + 1 = 0$ 。解の公式で $u = \frac{3 \pm 5}{2}$ 。 $2^{x} > 0$ なのでどちらでもよく、大きいほうを $u$ 、小さいほうが $\frac{1}{u}$ にあたる。

あとは求める量を $u$ で書く。 $4^{x} + 4^{- x} = u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}$ 、 $8^{x} + 8^{- x} = u^{3} + \frac{1}{u ^{3}}$ 。

$u = \frac{3 + 5}{2}$ を入れると $u^{2} = \frac{7 + 3 5}{2}$ 、 $\frac{1}{u ^{2}} = \frac{7 - 3 5}{2}$ で和は $7$ 。 $u^{3} = 9 + 45$ 、 $\frac{1}{u ^{3}} = 9 - 45$ で和は $18$ 。

$4^{x} + 4^{- x} = 7, 8^{x} + 8^{- x} = 18.$

$ab = 1$ の対称式として展開だけで済ませる本解と同じ答え。「正体( $2^{x}$ の値)を出してから代入する」ぶん計算は増えるが、何をしているか目に見える。

ポイント

$2^{x} \cdot 2^{- x} = 1$ (逆数ペア)が全ての土台。
和 → $2$ 乗で平方和、 $3$ 乗で立方和。対称式と同じ。

よくある間違い

$2^{x} \cdot 2^{- x} = 2^{0} = 1$ を $2^{0} = 0$ と誤り、対称式の土台となる積 $1$ を取り違える。
$(2^{x} + 2^{- x})^{2}$ の中央項 $2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2$ を落とし、 $4^{x} + 4^{- x}$ を $9$ としてしまう。
$3$ 乗のとき $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)$ の $3 ab (a + b)$ を忘れ、 $8^{x} + 8^{- x} = 27$ と答える。