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数学I

2次関数のグラフと最大・最小 平方完成・場合分け

平方完成とグラフ、平行移動・対称移動、定義域付きの最大・最小、軸や定義域が動く場合分けを扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 平方完成の基本
  2. グラフの頂点と軸
  3. グラフの平行移動
  4. グラフの対称移動
  5. 定義域があるときの最大・最小
  6. いろいろな定義域での最大・最小
  7. 軸が動く場合の最小値
  8. 定義域が動く場合の最小値
  9. 面積の最大値(文章題)
  10. 2次関数の決定(頂点・軸の条件)
  11. 2次関数の決定(3点を通る条件)
  12. 置き換えによる最小値

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 平方完成(係数が1でない場合)
  2. 頂点・軸とグラフの概形
  3. グラフの平行移動
  4. グラフの対称移動
  5. 定義域のある2次関数の最大・最小
  6. 軸が動く場合の最小値(場合分け)
  7. 軸が動く場合の最大値(場合分け)
  8. 定義域の端が動く場合の最小値
  9. 面積の最大値(文章題)
  10. 2次関数の決定(頂点・軸の条件)
  11. 2次関数の決定(3点を通る)
  12. 置き換えによる最大・最小

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 軸が動く最小値 m(a) と、その最大値
  2. 定義域が動く場合の最大値・最小値
  3. 条件式のある2変数関数の最大・最小
  4. 置き換えによる最小値(tの範囲に注意)
  5. x軸から切り取る線分の長さと2次関数の決定
  6. 面積の和の最小値(針金の分割)
  7. 最大値・最小値から係数を決定する
  8. 最小値の条件から係数を決定する(場合分けと吟味)

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 軸が動く2次関数の最大値と最小値(両方の場合分け)
  2. 絶対値つき2次関数の最大値(動く区間)
  3. 最大値を最小にする(ミニマックス)
  4. 2次と絶対値の和の最小値
  5. 積の形の関数の最小値(共通のかたまりを置きかえ)
  6. 差分の条件からの2次関数の決定
  7. 最小値 m(a) を求め、m(a)=1 となる a を決める
  8. 円の条件のもとでの2次式の最大・最小

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 2次方程式が異なる2つの正の解をもつ条件
  2. 和が一定のもとでの平方和の最大・最小
  3. 放物線の下の格子点の個数
  4. 放物線と直線が接する条件
  5. パラメータつき2次式が常に正となる条件
  6. 三角関数を置きかえた2次関数の最大・最小
  7. 頂点と通る点から2次関数を決める
  8. 和が一定のもとでの積の最大(最適化)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. ミニマックス(区間での最大値の最小化)
  2. 拘束つき2次形式の最大・最小
  3. 2次関数の合成と方程式の実数解
  4. さいころの目と2次方程式が実数解をもつ確率
  5. 放物線を最もよく近似する直線(最小二乗)
  6. 動く区間での最大値と最小値の差
  7. 放物線への直交2接線がなす点の軌跡
  8. 対称式の値域(2次形式)

2次関数のグラフと最大・最小の解説(つまずきやすい点と学習の順序)