2次関数のグラフと最大・最小 — 平方完成・場合分け

次の2次関数を $y=a(x-p{)}^2+q$ の形に変形せよ(平方完成せよ)。

(1) $y=x^2+4x+1$

(2) $y=2x^2-8x+5$

(3) $y=-x^2+6x-4$

次の2次関数のグラフについて、頂点の座標と軸の方程式を求めよ。また、グラフが下に凸か上に凸かも答えよ。

(1) $y=(x-1{)}^2+2$

(2) $y=x^2+2x-3$

(3) $y=-2x^2+4x+1$

(1) 放物線 $y=x^2$ を $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(2) 放物線 $y=2x^2-4x+3$ を $x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を、$y=a{x}^2+bx+c$ の形で求めよ。

放物線 $y=x^2-4x+5$ を、次のものに関して対称移動して得られる放物線の方程式を、それぞれ $y=a{x}^2+bx+c$ の形で求めよ。

(1) $x$ 軸

(2) $y$ 軸

(3) 原点

2次関数 $y=x^2-4x+1$($0\le x\le 3$)の最大値と最小値を求めよ。

次の2次関数の最大値と最小値を求めよ。

(1) $y=-x^2+6x-3$($1\le x\le 4$)

(2) $y=x^2+2x-1$($1\le x\le 3$)

$a$ を定数とする。2次関数 $f(x)=x^2-2ax+3$($0\le x\le 2$)の最小値を、$a$ の値で場合分けして求めよ。

$a$ を定数とする。2次関数 $f(x)=x^2-4x+5$($a\le x\le a+2$)の最小値を、$a$ の値で場合分けして求めよ。

長さ $24\mathrm{cm}$ の針金を全部使って、長方形を1つ作る。長方形の縦の長さを $x\mathrm{cm}$ とする。

(1) 長方形の面積を $S\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ とするとき、$S$ を $x$ の式で表せ。また、$x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $S$ が最大となる $x$ の値と、そのときの $S$ の値を求めよ。

(1) グラフの頂点が点 $(2,-1)$ で、点 $(0,3)$ を通る2次関数を求めよ。

(2) グラフの軸が直線 $x=-1$ で、2点 $(0,5)$、$(1,11)$ を通る2次関数を求めよ。

グラフが3点 $(0,1)$、$(1,2)$、$(2,7)$ を通る2次関数を求めよ。

関数 $y=x^4-2x^2+3$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

次の2次関数を $y=a(x-p{)}^2+q$ の形に変形せよ。

(1) $y=2x^2-8x+5$

(2) $y=-3x^2+6x-1$

(3) $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x+3$

2次関数 $y=-2x^2+4x+3$ について、次の問いに答えよ。

(1) グラフの頂点の座標と軸の方程式を求めよ。

(2) グラフと $y$ 軸との交点の座標を求めよ。また、このグラフは上に凸か下に凸か。

放物線 $C:y=x^2-4x+1$ について、次の問いに答えよ。

(1) $C$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(2) $C$ をどのように平行移動すると、放物線 $y=x^2+2x+4$ に重なるか。

放物線 $y=2x^2-4x+5$ を、次の直線または点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(1) $x$ 軸

(2) $y$ 軸

(3) 原点

2次関数 $y=x^2-6x+4$ について、次の各定義域における最大値と最小値を求めよ。

(1) $1\le x\le 6$

(2) $4\le x\le 5$

$a$ は定数とする。2次関数 $f(x)=x^2-2ax+3$ ($0\le x\le 2$) の最小値を求めよ。

$a$ は定数とする。2次関数 $f(x)=x^2-2ax+2$ ($0\le x\le 6$) の最大値を求めよ。

$a$ は正の定数とする。2次関数 $f(x)=x^2-4x+1$ ($0\le x\le a$) の最小値を求めよ。

家の壁に沿って、長方形の花だんを作る。壁に垂直な2辺と壁に平行な1辺の計3辺を、合計 $16$ m の柵で囲む(壁に接する辺には柵を使わない)。壁に垂直な辺の長さを $x$ m とするとき、花だんの面積が最大となる $x$ の値と、そのときの面積を求めよ。

次の条件を満たす2次関数を求めよ。

(1) グラフの頂点が点 $(2,-1)$ で、点 $(4,7)$ を通る。

(2) グラフの軸が直線 $x=-1$ で、2点 $(0,1)$, $(1,-5)$ を通る。

グラフが3点 $(1,2)$, $(2,3)$, $(-1,12)$ を通る2次関数を求めよ。

関数 $y=x^4-8x^2+5$ ($-1\le x\le 3$) の最大値と最小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数 $f(x)=x^2-2ax+a+2$($0\leqq x\leqq 2$)を考える。

(1) $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求めよ。

(2) $a$ がすべての実数を動くとき、$m(a)$ の最大値と、そのときの $a$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数 $f(x)=x^2-4x+5$ の定義域を $a\leqq x\leqq a+2$ とする。

(1) $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ の最大値 $M(a)$ を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=1$ を満たすとき、$z=2x+y^2$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x,y$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=(x^2-2x{)}^2-4(x^2-2x)+1$ について、次の問いに答えよ。

(1) $t=x^2-2x$ とおくとき、$x$ がすべての実数を動くときの $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

$x^2$ の係数が $1$ の2次関数のグラフが、$x$ 軸から長さ $4$ の線分を切り取り、頂点が直線 $y=-2x-1$ 上にあるという。この2次関数を求めよ。

長さ $16\mathrm{cm}$ の針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか。また、そのときの面積の和を求めよ。

$a\ne 0$ とする。関数 $f(x)=a{x}^2-2ax+b$($1\leqq x\leqq 3$)の最大値が $5$、最小値が $-3$ であるとき、定数 $a,b$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。関数 $f(x)=x^2-2ax+4a$($-1\leqq x\leqq 1$)の最小値が $-4$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。関数 $f(x)=x^2-2ax+2$ の $0\le x\le 2$ における最大値 $M(a)$ と最小値 $m(a)$ を、それぞれ求めよ。

$a>0$ とする。関数 $f(x)=|x^2-2x|$ の $0\le x\le a$ における最大値 $M(a)$ を求めよ。

定数 $c$ に対して、$-1\le x\le 1$ における $|x^2-c|$ の最大値を $g(c)$ とする。$g(c)$ を最小にする $c$ の値と、そのときの最大値を求めよ。

関数 $f(x)=x^2+|x-1|$ の最小値を求めよ。

関数 $y=(x^2-4x+3)(x^2-4x+5)$ の最小値を求めよ。

2次関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について $f(x+1)-f(x)=4x$ を満たし、さらに $f(0)=1$ であるとする。$f(x)$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$f(x)=x^2-2ax+3$ の $-1\le x\le 1$ における最小値を $m(a)$ とする。

(1) $m(a)$ を求めよ。　(2) $m(a)=1$ となる $a$ をすべて求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=2$ を満たすとき、$x+y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

$2$ 次方程式 $x^2-2ax+a+2=0$ が異なる $2$ つの正の解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$x+y=2,x\ge 0,y\ge 0$ のとき、$x^2+y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

$x,y$ を整数とする。$y\ge 0$ かつ $y\le -x^2+4$ を満たす点 $(x,y)$ の個数を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x-k$ が接するように、定数 $k$ の値を定めよ。

「すべての実数 $x$ に対し $x^2-2ax+a+2>0$」が成り立つような定数 $a$ の範囲を求めよ。

$y={\cos }^{2}x+\cos x$ の最大値と最小値を求めよ。

頂点が $(1,-2)$ で、点 $(3,6)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

$x>0,y>0$ で $x+2y=8$ のとき、積 $xy$ の最大値を求めよ。

実数 $a,b$ に対し、区間 $-1\le x\le 1$ における $|x^2+ax+b|$ の最大値を $M(a,b)$ とする。$M(a,b)$ の最小値を求めよ。

$x^2+y^2=1$ を満たす実数 $x,y$ に対し、$Q=3x^2+2xy+3y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

$c$ を実数とし、$f(x)=x^2+c$ とする。方程式 $f(f(x))=x$ が相異なる $4$ 個の実数解をもつような $c$ の値の範囲を求めよ。

$1$ 個のさいころを $3$ 回投げ、出た目を順に $a,b,c$ とする。$2$ 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ が実数解をもつ確率を求めよ。

実数 $a,b$ に対し $J(a,b)={\int }_0^1{\left(x^2-ax-b\right)}^{2}dx$ とする。$J(a,b)$ を最小にする $a,b$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

実数 $a$ に対し、区間 $a\le x\le a+1$ における $x^2$ の最大値から最小値を引いた値を $D(a)$ とする。$D(a)$ の最小値を求めよ。

点 $\mathrm{A}$ から放物線 $y=x^2$ へ相異なる $2$ 本の接線が引け、それらが互いに直交するとき、点 $\mathrm{A}$ の軌跡を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+xy+y^2=3$ を満たすとき、$x^2-xy+y^2$ のとりうる値の範囲を求めよ。