絶対値つき2次関数の最大値(動く区間)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=|x^2-2x|$ のグラフをまず描く。$x^2-2x=x(x-2)$ は $0\le x\le 2$ で負だから、そこは $x$ 軸で折り返して“山”になる。山の頂上は $x=1$ で高さ $1$。$x\ge 2$ では折り返さず増加。

右端 $a$ を $0$ から大きくしていくと、最大値を担当する場所が移っていく。

$0<a\le 1$ は山を登る途中で右端が最大。$a$ が山を越えると、しばらく山の頂上 $1$ が最大。さらに $a$ が大きくなり、右側の増加部分が再び高さ $1$ に達する($x^2-2x=1$、$x=1+\sqrt{2}$)と、そこから先は右端 $a$ が最大に返り咲く。$3$ 場合だ。

① グラフを作る。 $0\le x\le 2$ では $f(x)=2x-x^2$(折り返し)、$x\ge 2$ では $f(x)=x^2-2x$。折り返した山の頂点は $(2x-x^2{)}^{\prime }=2-2x=0$ より $x=1$、高さ $f(1)=1$。$x=2$ で $0$ に戻り、以降は増加。

② 追いつく位置を求める。 右側の増加部分が山の高さ $1$ に達するのは $x^2-2x=1$、すなわち $x^2-2x-1=0$ より $x=1+\sqrt{2}$($x\ge 2$ 側の解)。

③ 右端 $a$ で場合分けする。

• $0<a\le 1$:区間内で $f$ は増加中。最大は右端 $M(a)=2a-a^2$。
• $1\le a\le 1+\sqrt{2}$:山 $x=1$ が入り、右端はまだ高さ $1$ に届かない。$M(a)=1$。
• $a\ge 1+\sqrt{2}$:右端が山を追い越す。$M(a)=a^2-2a$。

(境目:$a=1$ で $2-1=1$、$a=1+\sqrt{2}$ で $(1+\sqrt{2}{)}^2-2(1+\sqrt{2})=1$。どちらもつながる。)

まとめ:絶対値つきの最大値は「折り返してできた山の高さ」と「右側でその高さに追いつく位置」の $2$ つが境目。$x^2-2x=1$ の解 $1+\sqrt{2}$ が第 $2$ の境目になる。境目で値がつながるかは検算に使える。

発展 — 一歩先へ。 絶対値つき関数の「動く区間での最大」は、$y=|f(x)|$ のグラフの山と谷を、区間の端がどこまで動いたかで追う問題。境界は「区間の端の値 $=$ 山の高さ」となる方程式の解として出る。折れ線・折り返しのグラフを正確に描くのが、この型の生命線だ。

別解

別解 — $x^2-2x$ と水平線 $y=\pm 1$ の交わりで境界を出す(視覚で捉えるルート)。 折り返しで山ができるので、最大値の候補は「山の頂上 $1$」か「右端 $f(a)$」のどちらか。境目は $f(a)$ が $1$ に等しくなる $a$ だ。

右端 $a$ が山の中($0\le a\le 2$)なら、$f(a)=|a^2-2a|=2a-a^2$(山を登る値)。これが頂上 $1$ を超えないのは $a\le 1$ まで。

右端が谷を越えて増加部分($a\ge 2$)に入ると $f(a)=a^2-2a$。これが再び $1$ になるのは $a^2-2a=1$、すなわち $a=1+\sqrt{2}$。

だから

$$M(a)=\{\begin{array}{ll}2a-a^2& (0<a\le 1)\\ 1& (1\le a\le 1+\sqrt{2})\\ a^2-2a& (a\ge 1+\sqrt{2})\end{array}$$

「右端の値 $f(a)$ と山の高さ $1$ の大小」だけを追えば、境界 $a=1$ と $a=1+\sqrt{2}$ が方程式 $f(a)=1$ の解として出る。グラフの上下動を丁寧に追うより、$2$ つの候補の大小比較に絞ると見通しがよい。