2次関数の決定(頂点・軸の条件)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 次関数を決めるには未知数 $3$ つ($a,b,c$ または $a,p,q$)を決める必要がある — だから条件も $3$ つ要る。

与えられた条件に合わせて、式の形を選ぶのがコツだ。

• 頂点が分かっている → $y=a(x-p{)}^2+q$ の形で書けば、$p,q$ が即座に埋まり、残る未知数は $a$ だけ($1$ 点通れば決まる)
• 軸だけ分かっている → $p$ が埋まり、未知数は $a$ と $q$($2$ 点通れば決まる)

条件の形に合った式を選べば、連立方程式が最小限になる。

(1) 頂点が $(2,-1)$ なので、$y=a(x-p{)}^2+q$ に $p=2,q=-1$ を入れる。

$$y=a(x-2{)}^2-1(a\ne 0)$$

点 $(0,3)$ を通るので、$x=0,y=3$ を代入して $a$ を求める。

$$3=a(0-2{)}^2-1=4a-1$$

$4a=4$ より $a=1$。よって

$$y=(x-2{)}^2-1(y=x^2-4x+3)$$

(2) 軸が $x=-1$ なので、$y=a(x-p{)}^2+q$ の $p=-1$。

$$y=a(x+1{)}^2+q(a\ne 0)$$

2点 $(0,5)$、$(1,11)$ を代入する。$x=0,y=5$ から $5=a+q$。$x=1,y=11$ から $11=4a+q$。引き算すると $6=3a$、$a=2$、$q=3$。よって

$$y=2(x+1{)}^2+3(y=2x^2+4x+5)$$

まとめ:2次関数の決定は『わかっている条件に合う形を選ぶ』のがコツ。頂点や軸がわかれば $y=a(x-p{)}^2+q$ の形、あとは通る点を代入して $a$ 等を求める。

発展 — 一歩先へ。 「未知数の数 $=$ 必要な条件の数」という勘定は、あらゆる決定問題の基本だ。$2$ 次関数は $3$ 未知数だから $3$ 条件、直線($y=ax+b$)は $2$ 未知数だから $2$ 条件($2$ 点で決まる)、円($3$ 未知数)も $3$ 点で決まる。「いくつ決めれば形が定まるか」= 自由度という見方は、図形の決定問題すべてに通じる。

頂点の条件は $2$ つ分($p$ と $q$)の情報を含むので、あと $1$ 点でよい — 条件の「重さ」が違うのだ。$3$ 点を通る、という条件は $3$ つの軽い条件。条件の重さを見積もってから式の形を選ぶ、という段取りが、計算を軽くする。

別解

「どの形の式を使うか」の選択基準を整理しておこう — これが $2$ 次関数の決定問題の全体像だ。

(1) 頂点 $(2,-1)$ が与えられている → 頂点形一択。

$$y=a(x-2{)}^2-1$$

$(0,3)$ を代入: $3=4a-1$ → $a=1$。答え $y=(x-2{)}^2-1$。未知数 $1$ つ、方程式 $1$ 本 — 一瞬だ。

もしこれを一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ でやったら、頂点の条件を「$-\frac{b}{2a}=2$」「頂点の $y$ が $-1$」と $2$ 本の式に翻訳せねばならず、連立が $3$ 元になって大変になる。

(2) 軸 $x=-1$ → $y=a(x+1{)}^2+q$。$2$ 点を代入して $a,q$ の連立($2$ 元)を解く。

条件の形に合わせて式を選ぶ — この $1$ 手の判断が、計算量を数倍変える。「$3$ 点なら一般形、頂点や軸なら頂点形」と反射的に選べるようになりたい。