動く区間での最大値と最小値の差

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 幅1の区間を数直線の上で滑らせながら、放物線 $y=x^2$ の「区間内での山と谷の差」を測る問題だ。

放物線は $x=0$ で最小。だから、区間が原点をまたぐかどうかで、最小値の場所(端か、頂点か)が変わる。$a$ で場合分けする。

① 場合分け。

• $a\ge 0$: 区間は $x\ge 0$ で増加。最大 $(a+1{)}^2$、最小 $a^2$。$D=(a+1{)}^2-a^2=2a+1\ge 1$
• $a+1\le 0$(すなわち $a\le -1$): 区間は $x\le 0$ で減少。最大 $a^2$、最小 $(a+1{)}^2$。$D=a^2-(a+1{)}^2=-2a-1\ge 1$
• $-1<a<0$: 区間は頂点 $0$ を含む。最小は $0$、最大は両端のうち遠いほう $\max \{a^2,(a+1{)}^2\}$。$D=\max \{a^2,(a+1{)}^2\}$

② 頂点を含む場合の最小化。 $a^2=(a+1{)}^2⟺a=-\frac{1}{2}$。このとき両端は頂点から等距離で、$D={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。$a$ が $-\frac{1}{2}$ から離れると、遠い側の端が高くなって $\max$ は増える。

③ 全体。 各場合の最小は、$a\ge 0$ で $1$、$a\le -1$ で $1$、$-1<a<0$ で $\frac{1}{4}$。よって $D(a)$ の最小値は $\frac{1}{4}$。

まとめ: 動く区間の最大最小は「区間が頂点を含むか」で場合分けする。含むとき最小は頂点、最大は遠い側の端だ。両端が頂点から等距離になる $a=-\frac{1}{2}$ で、差がいちばん縮む。図で区間を滑らせると、その瞬間が見える。

発展 — 一歩先へ。 区間の幅を $h$ に変えると、同じ議論で最小値は ${\left(\frac{h}{2}\right)}^2$ になる(本問は $h=1$)。さらに、下に凸ならどんな関数でも「両端の高さが等しい位置」が差を最小にする。放物線に限らない、凸さだけから出る原理だ。

別解

鏡映しの対称性で当たりを付ける(得意な人向け)。 $y=x^2$ は偶関数だ。区間 $[a,a+1]$ を原点で折り返すと、区間 $[-a-1,-a]$ に移る。折り返しても $x^2$ の値の集まりは変わらない。だから

$$D(-1-a)=D(a)$$

つまり関数 $D$ は、$a=-\frac{1}{2}$ を中心に左右対称だ。

対称な関数の最小は、対称の中心で起こると当たりを付けたくなる。実際、$a\ge -\frac{1}{2}$ の側で $D$ が増える一方であることを(場合分けで)確かめれば、正当化できる。中心 $a=-\frac{1}{2}$ での値は、区間 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ で最大 $\frac{1}{4}$・最小 $0$、差は $\frac{1}{4}$。

場合分けの計算(本解)と同じ答えに、対称性という一段高い視点から降りてくるルートだ。「問題の対称性は、答えの場所を教える」。この感覚は最適化のあちこちで効く。