2次と絶対値の和の最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値は $x=1$ を境に外す。$x\ge 1$ では $|x-1|=x-1$、$x<1$ では $|x-1|=1-x$。

それぞれ $2$ 次関数になる。$x\ge 1$ では $f=x^2+x-1$、$x<1$ では $f=x^2-x+1$。

平方完成して頂点を調べる。ただし大事なのは「頂点がその区間に入っているか」。区間外に頂点があるなら、区間の端が最小候補。両区間の最小を比べて全体の最小を決める。

① 絶対値をはずす。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x-1& (x\ge 1)\\ x^2-x+1& (x<1)\end{array}$$

② 各区間で最小を調べる。

• $x<1$ の部分:$x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$。頂点 $x=\frac{1}{2}$ は $x<1$ に入るので、この部分の最小は $\frac{3}{4}$。
• $x\ge 1$ の部分:$x^2+x-1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$。頂点 $x=-\frac{1}{2}$ は $x\ge 1$ に入らない。区間 $x\ge 1$ で増加だから、最小は左端 $f(1)=1$。

③ 比べる。 $\frac{3}{4}<1$ より、全体の最小値は $x=\frac{1}{2}$ のとき $\frac{3}{4}$。

まとめ:絶対値と $2$ 次の和は「境目で $2$ つの放物線に分割」。分けたあと、各放物線の頂点が“はずした側”にあるかどうかを必ず確認する。$x\ge 1$ 側の頂点は範囲外なので端 $x=1$ が最小、という点が引っかかりどころ。

発展 — 一歩先へ。 $x^2+|x-1|$ のグラフは、$x=1$ で $2$ 本の放物線を貼り合わせた形。貼り目 $x=1$ で値は連続だが、傾きは折れる(左からの傾き $2\cdot 1-1=1$、右からは $2\cdot 1+1=3$)。絶対値を含む関数は「区間ごとに別の式・貼り目で折れる」のが特徴で、最小は各区間の頂点か貼り目で起こる。

別解

別解 — $2$ 本の放物線の“低い方”をたどる(視覚で捉えるルート)。 $f(x)=x^2+|x-1|$ は、$x<1$ では放物線 $y=x^2-x+1$、$x\ge 1$ では放物線 $y=x^2+x-1$。この $2$ 本を $x=1$ で貼り合わせたグラフの、いちばん低い点が最小値だ。

$y=x^2-x+1$ は頂点 $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$。頂点の $x=\frac{1}{2}$ は「$x<1$」の側にちゃんと入っている。だからこの放物線の最小 $\frac{3}{4}$ は実際に達成される。

$y=x^2+x-1$ は頂点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4}\right)$ だが、$x=-\frac{1}{2}$ は「$x\ge 1$」の外。だからこちら側では区間の左端 $x=1$ が最小で、$f(1)=1$。

$2$ つの候補 $\frac{3}{4}$ と $1$ を比べて、小さい $\frac{3}{4}$ が全体の最小。

場合分けで平方完成する(本解)のと同じだが、「$2$ 本の放物線を貼り合わせ、頂点が自分の区間に入るか」を絵で確認すると、なぜ左側の頂点だけが有効かが見える。頂点が区間外なら端、という判断が要になる。