数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

条件式のある2変数関数の最大・最小

★★★ 応用最大・最小2変数隠れた条件

問題

実数 $x, y$ が $x^{2} + y^{2} = 1$ を満たすとき、 $z = 2 x + y^{2}$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

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$x^{2} + y^{2} = 1$ から $y^{2} = 1 - x^{2}$ を作り、 $z$ に代入すると $x$ だけの2次関数になる。ただし $y^{2} \geq 0$ が効いて $x$ に範囲がつく — この範囲を見落とすと答えがずれる。

解答・解説

方針

2つの文字 $x, y$ があるが、条件 $x^{2} + y^{2} = 1$ を使って $y^{2} = 1 - x^{2}$ と1文字に減らす。すると $z$ が $x$ だけの2次関数になる。

大事なのは $x$ の範囲。 $y^{2} = 1 - x^{2} \geq 0$ (2乗は0以上)から $- 1 \leq x \leq 1$ 。この範囲で $z$ の最大・最小を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文字が $x, y$ の $2$ つあるが、条件式は $1$ 本ある。「条件式は文字を $1$ つ減らすための道具」と読み替えよう。ここでは $y^{2}$ を消す。

ただし、消して終わりではない。消された文字にも「実数として存在できる」条件があった。 $y^{2} \geq 0$ だ。

これが $x$ の動ける範囲として残る。この範囲の取りこぼしこそ、この型の最大の急所になる。

公式条件式で1文字消去。

y^{2} \geq 0

から変域がつく(見落とし注意)

z = −(x−1)² + 2(−1 ≤ x ≤ 1)— 隠れた定義域に注意

① 条件式で1文字を消す。 条件 $x^{2} + y^{2} = 1$ から $y^{2} = 1 - x^{2}$ 。 $y^{2}$ は0以上なので

$y^{2} = 1 - x^{2} ≧ 0 すなわち - 1 ≦ x ≦ 1$

これが $x$ の範囲(定義域)になる。② 消した文字の範囲をおさえてから代入する。 $z$ に $y^{2} = 1 - x^{2}$ を代入すると、 $x$ だけの2次関数になる。

$z = 2 x + (1 - x^{2}) = - x^{2} + 2 x + 1$

平方完成する。

$z = - (x - 1)^{2} + 2$

頂点 $(1, 2)$ 、上に凸。定義域 $- 1 \leq x \leq 1$ で見ると、頂点 $x = 1$ は範囲の右端。上に凸なので $x = 1$ で最大、反対の端 $x = - 1$ で最小。

$最大値 2 (x = 1, y = 0), 最小値 - 2 (x = - 1, y = 0)$

( $x = 1$ なら $y^{2} = 1 - 1 = 0$ で $y = 0$ 。 $x = - 1$ でも $y = 0$ 。)

まとめ:2変数でも、条件式で1文字を消せば2次関数になる。消したあとの文字の範囲( $y^{2} \geq 0$ から出る)を必ず求めるのが最大のポイントだ。

発展 — 一歩先へ。 この問題の最大が端 $x = 1$ で起きたのは、たまたまではない。 $z = 2 x + y^{2}$ を一般化して $z = k x + y^{2}$ ( $k > 0$ )としてみる。

代入すると $z = k x + (1 - x^{2}) = - (x - \frac{k}{2})^{2} + 1 + \frac{k ^{2}}{4}$ で、頂点は $x = \frac{k}{2}$ 。 $x$ の動ける範囲は変わらず $- 1 \leq x \leq 1$ だ。

$k < 2$ なら頂点 $\frac{k}{2}$ は範囲の内側にあり、最大は頂点の高さ $1 + \frac{k ^{2}}{4}$ 。 $k \geq 2$ になると頂点が範囲の右端 $x = 1$ に届き、そこから外へ出る。この問題は $k = 2$ で、頂点がちょうど右端 $x = 1$ に乗った境目の場合だったわけだ。係数を動かすと、最大の起きる場所が内部から境界へ移る瞬間が見える。

答

$x = 1, y = 0$ のとき最大値 $2$ 、 $x = - 1, y = 0$ のとき最小値 $- 2$

別解

別解 — 上と下を因数分解で挟む(得意な人向けの視点)。 代入して $z = - x^{2} + 2 x + 1$ になったところで、平方完成して端で評価する代わりに、 $z$ が $2$ と $- 2$ のあいだに収まることを因数分解で直接示す。

まず上から。 $2 - z = 2 - (- x^{2} + 2 x + 1) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ だから、

$2 - z = (x - 1)^{2} \geq 0 ⟹ z \leq 2,$

等号は $x = 1$ 。 $(x - 1)^{2}$ はつねに $0$ 以上なので、範囲を気にせず $z \leq 2$ が言える。

次に下から。 $z - (- 2) = z + 2 = - x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 3) (x + 1) = (3 - x) (x + 1)$ 。定義域 $- 1 \leq x \leq 1$ では $3 - x > 0$ かつ $x + 1 \geq 0$ なので、

$z + 2 = (3 - x) (x + 1) \geq 0 ⟹ z \geq - 2,$

等号は $x = - 1$ 。ここで初めて定義域 $x \geq - 1$ (=消した $y^{2} \geq 0$ )が効いている。

こうして $- 2 \leq z \leq 2$ 。最大値 $2$ ( $x = 1, y = 0$ )、最小値 $- 2$ ( $x = - 1, y = 0$ )で、本解と同じ結論に至る。因数の符号を見るだけなので、頂点が端にあるかどうかの吟味が要らない。

ポイント

条件式で1文字を消し( $y^{2} = 1 - x^{2}$ )、2次関数にする
消した文字の範囲( $y^{2} \geq 0$ から $- 1 \leq x \leq 1$ )を必ず求める
その範囲で平方完成して最大・最小

よくある間違い

$y^{2} = 1 - x^{2}$ を代入したあと、 $x$ の範囲 $- 1 \leq x \leq 1$ を付けずに $x$ を自由に動かす。
$z = - (x - 1)^{2} + 2$ の頂点 $x = 1$ が範囲の右端であることを見落とし、最小を反対の端でなく頂点付近で探す。
最大・最小の $x$ は求めたのに、対応する $y$ ( $y^{2} = 1 - x^{2}$ から $y = 0$ )を答え忘れる。