和が一定のもとでの積の最大(最適化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件 $x+2y=8$ で1文字消去するのが直進ルートだ。$x=8-2y$ を代入して

$xy=(8-2y)y=-2y^2+8y$ — 上に凸の2次関数。

範囲($x>0$ から $0<y<4$)の中に頂点 $y=2$ が入っているから、頂点で最大 $8$。「消去 → 2次関数 → 頂点」の3拍子だ。

① $1$ 文字消去。 $x=8-2y$ を積に代入して $$xy=(8-2y)y=-2y^2+8y=-2(y-2{)}^2+8.$$ ② $y$ の範囲。 $x=8-2y>0$ より $y<4$、$y>0$ とあわせて $0<y<4$。

③ 最大。 上に凸で頂点 $y=2$(範囲内)。頂点で最大 $$xy=-2(2-2{)}^2+8=8(y=2,x=8-4=4).$$ よって最大値は $8$。

まとめ $x+2y=8$ で消去して $xy=-2(y-2{)}^2+8$($0<y<4$)、頂点 $y=2$ で最大 $8$($x=4$)。$2$ 次関数の最適化。相加相乗 $x\cdot 2y\le {\left(\frac{x+2y}{2}\right)}^2=16$ から $xy\le 8$ でも同じ。

発展 — 一歩先へ。 これは「周の長さが一定の長方形(横 $x$、縦 $y$ を2枚)で面積を最大に」という等周問題の変形でもある。重みが変わっても($x+3y=$ 一定 など)、相加相乗を「$x$ と $3y$」で組めば同じ形で解ける。さらに数IIの微分、数IIIの多変数へ進んでも、「和が一定 → 均等配分で積が最大」という原理は最適化の第一感であり続ける。

別解

相加相乗平均で(消去しない対称ルート)。 $x>0,2y>0$ の2つの数に相加相乗平均を使うと

$$8=x+2y\ge 2\sqrt{x\cdot 2y}=2\sqrt{2xy}$$

両辺を2で割って2乗すると $16\ge 2xy$、すなわち

$$xy\le 8$$

等号は $x=2y$ のとき。$x+2y=8$ と連立して $x=4,y=2$ — 範囲内に実在するから、最大値 $8$ が確定する。

1文字消去(本解)はどんな条件でも通る万能路、相加相乗は「和が一定なら、積は等分で最大」という原理を式のまま使う近道。$x$ と $2y$ という「係数込みのかたまり」でペアを組むのが、この型の目の付けどころだ。