2次方程式が異なる2つの正の解をもつ条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「異なる2つの正の解」— 解の符号つきの配置条件だ。グラフの言葉に翻訳する。

下に凸の放物線 $y=f(x)$ が「$x$ 軸の正の部分で2回交わる」ためには、3つが同時に要る:

(i) そもそも2回交わる: 判別式 $>0$。(ii) 交点が右半分にある: 軸 $>0$。(iii) 原点の側で持ち上がっている: $f(0)>0$。

この3点セット(判別式・軸・端の値)が、解の配置問題の基本装備になる。

① 判別式。 $\frac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2>0$。$(a-2)(a+1)>0$ より $a<-1$ または $a>2$。

② 軸。 軸は $x=a$。正の側にあるので $a>0$。

③ $f(0)$。 $f(0)=a+2>0$ より $a>-2$。

④ 連立。 ①($a<-1$ または $a>2$)、②($a>0$)、③($a>-2$)をすべて満たすのは $$a>2.$$

まとめ $2$ 正解は「判別式 $>0$・軸 $>0$・$f(0)>0$」の $3$ 条件。連立して $a>2$。$2$ 次関数(グラフ)と解の配置の融合。$3$ つのうち $1$ つでも欠けると誤答になる。

発展 — 一歩先へ。 「2解がともに区間 $(m,\infty )$ にある」一般形でも、3点セットは「判別式・軸 $>m$・$f(m)>0$」とそのまま拡張される。さらに「$m$ と $n$ の間に2解」なら $f(m)>0,f(n)>0$ と軸の挟み込み、「$m$ を挟んで1解ずつ」なら $f(m)<0$ の1本だけ — 端の値の符号が配置を語る、という文法は解の配置の全パターンを貫いている。

別解

解と係数の関係で(グラフを描かない代数ルート)。 2つの解を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数の関係で $\alpha +\beta =2a$、$\alpha \beta =a+2$。

「異なる2つの正の解」を代数の言葉に翻訳すると:

• 異なる2実解: 判別式 $a^2-a-2>0$
• ともに正 ⟺ 和が正かつ積が正: $2a>0$ かつ $a+2>0$

(和と積の符号で2数の符号が決まる: 積 $>0$ で同符号、さらに和 $>0$ で両方正。)3つの共通範囲は $a>2$ — 本解と同じ答えだ。

グラフの3点セット(本解)と、解と係数の3点セットは一対一に対応している(軸 $=\frac{\alpha +\beta }{2}$、$f(0)=$ 定数項 $=\alpha \beta$)。「配置はグラフ、符号は和と積」— 2つの言語を持っていると、複雑な配置(片方だけ正、など)でも迷わない。