定義域が動く場合の最大値・最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 幅 $2$ の窓が動く中で、最大と最小の両方を問われている。

ここで大事なのは、最大と最小で支配する原理が違うことだ。最小は「頂点が窓の中にあるか」で決まる。最大は「窓のどちらの端が頂点から遠いか」で決まる。

$2$ つを混ぜず、別々の場合分けとして設計する。これがこの問題の出発点になる。

平方完成する。

$$f(x)=(x-2{)}^2+1$$

頂点 $(2,1)$、下に凸。定義域 $a\le x\le a+2$(幅2の窓)が動く。

① 最小 $m(a)$ を求める。

頂点 $x=2$ が窓のどこにあるかで場合分け。

窓が頂点より左($a<0$)なら右端で最小。

$$m(a)=f(a+2)=(a+2-2{)}^2+1=a^2+1$$

窓が頂点を含む($0\le a\le 2$)なら頂点で最小。

$$m(a)=1$$

窓が頂点より右($a>2$)なら左端で最小。

$$m(a)=f(a)=(a-2{)}^2+1$$

② 最大 $M(a)$ を求める。

下に凸の最大は、窓の両端のうち頂点2から遠いほうでとる。窓の中央は $a+1$。

中央が頂点2より左($a\le 1$)のとき、頂点は窓の右寄りにあり、左端 $x=a$ が遠い。

$$M(a)=f(a)=(a-2{)}^2+1$$

中央が頂点2より右($a\ge 1$)のとき、右端 $x=a+2$ が遠い。

$$M(a)=f(a+2)=a^2+1$$

(境目 $a=1$ では両端が同じ高さ。)

まとめ:最小は頂点と窓の位置で3場合、最大は窓の中央と頂点の位置で2場合。どちらもグラフをかいて『頂点から近い・遠い』を見るのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 $m(a)$ と $M(a)$ は、幅 $2$ の窓を位置 $a$ でずらしながら、その窓の中の最小値・最大値を読み取ったものだ。これは「移動窓の最小・最大」と呼ばれ、信号処理や画像処理の基本的な操作になっている。

とくに $m(a)$ には平らな部分がある。窓が頂点をまたぐ間($0\le a\le 2$)、窓の中の最小はずっと $1$ のまま動かない。移動窓の最小をとると、谷が平らにならされて広がる。この「最小フィルタ」は画像処理では収縮(エロージョン)、最大をとる「最大フィルタ」は膨張(ダイレーション)と呼ばれる。

$1$ つの放物線から、窓を動かすだけで $m(a)$(下に平らな谷をもつ曲線)と $M(a)$($V$ 字に折れる曲線)という別々の形が生まれる。もとの関数と、窓越しに見た関数は別物になる、という視点が面白いところだ。

別解

別解 — 頂点を原点に移し、距離だけで考える(苦手な人向けの視覚ルート)。 $u=x-2$ と置いて、頂点が原点に来るようにずらす。すると $f=(x-2{)}^2+1=u^2+1$ で、定義域 $a\le x\le a+2$ は $u$ では $a-2\le u\le a$ になる。

こうすると問題は「区間 $[a-2,a]$ の上で $u^2$ が最小・最大になる場所」に化ける。$u^2$ は原点から遠いほど大きい。話が、原点(=頂点)からの距離だけになった。

最小は、区間が原点 $u=0$ をまたぐ($a-2\le 0\le a$、すなわち $0\le a\le 2$)なら、原点で $u^2=0$、$f$ の最小は $1$。またがないなら、$0$ に近い端で最小。

最大は、区間の両端 $u=a-2$ と $u=a$ のうち $0$ から遠いほう。$|a|$ と $|a-2|$ を比べると、$|a-2|>|a|$ となるのは $a<1$ のとき。だから $a<1$ では左端が遠くて最大、$a>1$ では右端が遠くて最大。

「窓の中央と頂点」を追う本解に対し、こちらは「原点からの距離」だけを見る。同じ場合分けの境目($a=0,2$ と $a=1$)にたどり着き、本解と同じ $m(a),M(a)$ が得られる。