対称式の値域(2次形式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 拘束も目標も対称式だ。こういうときは、基本対称式 $x+y,xy$ よりも、$s=x^2+y^2,p=xy$ の言葉で書くと見通しがよい。

拘束は $s+p=3$、目標は $x^2-xy+y^2=s-p$。$s=3-p$ を代入すれば、目標は $p$ だけの式になる。

あとは $p=xy$ のとりうる範囲を、「$x,y$ が実数」という条件から出せばよい。

① $s,p$ で書き換える。 $s=x^2+y^2,p=xy$ とおく。拘束 $s+p=3$、目標 $s-p$。$s=3-p$ より

$$x^2-xy+y^2=s-p=(3-p)-p=3-2p$$

② $p=xy$ の範囲。 $x,y$ が実数だから $x^2+y^2\ge 2|xy|$。すなわち $s\ge 2|p|$、$3-p\ge 2|p|$ だ。

• $p\ge 0$ のとき: $3-p\ge 2p⟺p\le 1$。よって $0\le p\le 1$
• $p<0$ のとき: $3-p\ge -2p⟺p\ge -3$。よって $-3\le p<0$

あわせて $-3\le p\le 1$(端は $x=y=\pm 1$ で $p=1$、$x=-y=\pm \sqrt{3}$ で $p=-3$ が実現)。

③ 目標の範囲。 $3-2p$ は $p$ の減少関数。$p=-3$ で最大 $3-2(-3)=9$、$p=1$ で最小 $3-2=1$。

$$1\le x^2-xy+y^2\le 9$$

まとめ: 対称式は $s=x^2+y^2,p=xy$ に翻訳する。拘束と目標がともに $s,p$ の1次で書けるから、$s=3-p$ の代入で1変数に落ちる。$p$ の範囲は実数条件 $s\ge 2|p|$ から出る。2次形式の値域問題の典型だ。

別解

和と差の座標に乗り換える(得意な人向け)。 $u=x+y,v=x-y$ とおくと、対称式はきれいに割れる。$x^2+y^2=\frac{u^2+v^2}{2}$、$xy=\frac{u^2-v^2}{4}$ だから、拘束は

$$\frac{u^2+v^2}{2}+\frac{u^2-v^2}{4}=\frac{3u^2+v^2}{4}=3⟺3u^2+v^2=12$$

目標は

$$x^2-xy+y^2=\frac{u^2+v^2}{2}-\frac{u^2-v^2}{4}=\frac{u^2+3v^2}{4}$$

拘束から $u^2=\frac{12-v^2}{3}$($0\le v^2\le 12$)。代入して

$$\frac{u^2+3v^2}{4}=1+\frac{2}{3}{v}^2$$

$v^2$ が $0$ から $12$ まで動くので、値域は $1$ から $1+8=9$。最小は $v=0$($x=y$ の方向)、最大は $u=0$($x=-y$ の方向)で起こる。

拘束の曲線は、$u,v$ 座標で見ればまっすぐな楕円 $3u^2+v^2=12$ だ。斜めに置かれた2次式は、45°回した座標(和と差)で対角化される。数Cで学ぶ主軸変換の、いちばん素朴な形である。