数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

放物線への直交2接線がなす点の軌跡

最難関編接線軌跡

問題

点 $A$ から放物線 $y = x^{2}$ へ相異なる $2$ 本の接線が引け、それらが互いに直交するとき、点 $A$ の軌跡を求めよ。

ヒントを見る

接点を $(t, t^{2})$ とおく。 $A$ を通る条件は $t$ の $2$ 次方程式で、 $2$ 接線はその $2$ 解。直交は傾きの積が $- 1$ 。あとは解と係数の関係。

解答・解説

方針

接点を $(t, t^{2})$ とおくと接線は $y = 2 t x - t^{2}$ 。 $A (X, Y)$ を通る条件は $t$ の $2$ 次方程式。 $2$ 接線= $2$ 解、直交=傾きの積 $- 1$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「点から放物線への2接線」は、接点のパラメータ $t$ の2次方程式に持ち込むのが定石だ。

接線の傾きは $2 t$ 。だから2本の直交条件は、2解 $t_{1}, t_{2}$ の積で書ける。解と係数の関係で $t_{1} t_{2}$ を点 $A$ の座標で表せば、軌跡が出る。

公式

y = x^{2}

の点

(t, t^{2})

における接線

y = 2 t (x - t) + t^{2} = 2 t x - t^{2}

① $A (X, Y)$ を通る条件。 $Y = 2 tX - t^{2}$ 、すなわち

$t^{2} - 2 X t + Y = 0$

2本の接線 ⟺ この $t$ の2次方程式が相異なる2実解 $t_{1}, t_{2}$ をもつ(判別式 $4 X^{2} - 4 Y > 0$ 、つまり $Y < X^{2}$ )。解と係数の関係で $t_{1} t_{2} = Y$ 。

② 直交条件。 2接線の傾きは $2 t_{1}, 2 t_{2}$ だから、直交 ⟺ $(2 t_{1}) (2 t_{2}) = - 1$ 、すなわち $4 t_{1} t_{2} = - 1$ 。 $t_{1} t_{2} = Y$ を代入して

$4 Y = - 1 ⟹ Y = - \frac{1}{4}$

③ 逆の確認。 $Y = - \frac{1}{4}$ なら $Y < X^{2}$ ( $- \frac{1}{4} < X^{2}$ )がどの $X$ でも成り立ち、たしかに2本引ける。よって軌跡は直線 $y = - \frac{1}{4}$ 。

準線 y=−1/4 上の点Aから y=x² に引いた2接線は直交する。Aの軌跡は y=−1/4

まとめ: 接点パラメータ $t$ の2次方程式に翻訳し、「2接線=2解」「直交=傾きの積 $- 1$ 」を解と係数の関係でつなぐ。得られた $y = - \frac{1}{4}$ は放物線の準線(焦点は $(0, \frac{1}{4})$ )。「準線上の点から引いた2接線は直交する」という有名な事実になっている。

発展 — 一歩先へ。 楕円で同じ問い(直交2接線の交点の軌跡)を立てると、答えは円になる(準円と呼ばれる)。放物線の準線は、その円が無限に大きくなった極限の姿だ。曲線が変わっても、「直交2接線の交点」という問いの構造は生きている。

答

直線 $y = - \frac{1}{4}$ (放物線の準線)

別解

傾き $m$ を主役にする(もう1つの2次方程式)。 接点でなく、接線の傾きをパラメータにしても解ける。

点 $A (X, Y)$ を通る傾き $m$ の直線は $y = m (x - X) + Y$ 。放物線 $y = x^{2}$ と接する条件は、連立した

$x^{2} - m x + (m X - Y) = 0$

が重解をもつことだ。判別式 $= 0$ から

$m^{2} - 4 X m + 4 Y = 0$

これは $m$ の2次方程式。2本の接線の傾き $m_{1}, m_{2}$ はその2解で、解と係数の関係から $m_{1} m_{2} = 4 Y$ 。直交 $m_{1} m_{2} = - 1$ とあわせて $4 Y = - 1$ 、すなわち $Y = - \frac{1}{4}$ 。

接点 $t$ を使う本解と、傾き $m$ を使う本ルート。どちらも「2本の接線=ある2次方程式の2解」という同じ骨格で、変数の選び方だけが違う。微分を知らなくても接線を扱えるのは、判別式 $= 0$ (重解)が「接する」を表してくれるからだ。

ポイント

接点 $t$ の $2$ 次方程式に翻訳。
直交 $⟺ 4 t_{1} t_{2} = - 1$ 、軌跡は準線 $y = - \frac{1}{4}$ 。

よくある間違い

2本引ける条件( $Y < X^{2}$ 、点が放物線の下側)と、逆の検分(③)を落とす。軌跡の答案は「必要」と「十分」の両方で閉じる。
直交条件を $t_{1} t_{2} = - 1$ と書く。傾きは $t$ でなく $2 t$ で、正しくは $4 t_{1} t_{2} = - 1$ 。係数2の掛け算が効く。
接線の式 $y = 2 t x - t^{2}$ を天下りに使う。数Iの範囲でも、 $y = x^{2}$ と直線の連立が重解をもつ条件(判別式0)から同じ式が導ける。