グラフの平行移動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行移動は「頂点がどこへ動くか」で考えるのがいちばん速い。形($a$ の値)は変わらず、位置だけが動く。

(1) $y=x^2$ の頂点 $(0,0)$ が、$x$ 方向 $3$・$y$ 方向 $-2$ 動いて $(3,-2)$ へ。$a=1$ のまま

$$y=(x-3{)}^2-2$$

(2)も同じ — まず平方完成して頂点を出し、それを動かして、必要なら展開して戻す。「頂点で考える」が平行移動の王道である。

(1) $y=x^2$ の頂点は原点 $(0,0)$。$x$ 方向に3、$y$ 方向に $-2$ 動かすと、頂点は $(3,-2)$ に移る。形($a=1$)は変わらないので

$$y=(x-3{)}^2-2$$

(2) まず $y=2x^2-4x+3$ の頂点を、平方完成で求める。

$$y=2x^2-4x+3=2(x^2-2x)+3=2\{(x-1{)}^2-1\}+3=2(x-1{)}^2+1$$

頂点は $(1,1)$。これを $x$ 方向に $-1$、$y$ 方向に2動かすと

$$(1+(-1),1+2)=(0,3)$$

形($a=2$)は変わらないので、頂点 $(0,3)$ の放物線は

$$y=2(x-0{)}^2+3=2x^2+3$$

平行移動は『形はそのまま、頂点だけ動かす』と考えると速い。

発展 — 一歩先へ。 平行移動で変わらないものは何か — $x^2$ の係数 $a$(グラフの開き具合と凸の向き)だ。動くのは頂点の位置だけ。だから「$y=2x^2-4x+3$ を移動した」答えの $x^2$ の係数は、必ず $2$ のまま。$a$ が変わっていたら、その時点で計算ミスと分かる。

この「$x$ を $x-p$ に置き換える」という規則は、$2$ 次関数に限らずすべての関数で成り立つ。$y=\sin x$ でも $y=\frac{1}{x}$ でも同じ — 数IIIまでずっと使う、グラフの移動の普遍ルールである。

別解

頂点を経由せず、式の置き換えで直接動かす方法もある。こちらは平方完成が不要だ。

規則はこう — $x$ 方向に $p$、$y$ 方向に $q$ 動かすには、$x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換える。

(2)は $x$ 方向 $-1$、$y$ 方向 $2$ なので、$x$ を $x-(-1)=x+1$、$y$ を $y-2$ に。

$$y-2=2(x+1{)}^2-4(x+1)+3$$

右辺を展開して整理すると

$$2x^2+4x+2-4x-4+3=2x^2+1$$

よって $y-2=2x^2+1$、つまり $y=2x^2+3$ — 頂点ルートと同じ答えだ。

符号が逆になるのが、この方法の急所。「$+3$ 動かすのに $x-3$ を代入する」— 直感に反するが、理由はこうだ。移動後のグラフ上の点 $(x,y)$ は、移動前の点 $(x-p,y-q)$ が動いてきたもの。だから元の式に $(x-p,y-q)$ を入れる。

$2$ つの道の使い分け — 平方完成が楽なら頂点ルート、面倒なら置き換えルート。そして両方で計算して一致を確かめれば、符号ミスは完全に潰せる。