数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

2次関数の決定(3点を通る)

★★ 標準2次関数の決定連立方程式

問題

グラフが3点 $(1, 2)$ , $(2, 3)$ , $(- 1, 12)$ を通る2次関数を求めよ。

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3点を $y = a x^{2} + b x + c$ に代入。3式の差をとると $c$ が消えて、 $a, b$ の連立に持ちこめる。

解答・解説

3点を通る → 一般形 $y = a x^{2} + b x + c$ に3点を代入して連立を解く。 $(0, ?)$ の点がない場合も、3つの式から $a, b, c$ を求める。差をとって文字を消すのがコツ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3点を通る条件は、頂点も軸も分からない。こういうときは一般形 $y = a x^{2} + b x + c$ の出番だ。

3点を代入すれば、 $a, b, c$ の連立方程式が3本できる。

3本の連立は、2本ずつ差を取ると文字が1つ消える。「差を取って文字を減らす」という連立の常道を、ここでも使う。

公式3点を通る →

y = a x^{2} + b x + c

に代入。3式の差で

c

を消し

a, b

を出す

3点 (1, 2)、(2, 3)、(−1, 12) を通る放物線 y = 2x² − 5x + 5

一般形

$y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$

に3点 $(1, 2), (2, 3), (- 1, 12)$ を代入する。 $(1, 2)$ から $a + b + c = 2$ 、 $(2, 3)$ から $4 a + 2 b + c = 3$ 、 $(- 1, 12)$ から $a - b + c = 12$ 。

1つ目と3つ目の差をとると、 $c$ が消えて

$2 b = 2 - 12 = - 10 よって b = - 5$

$b = - 5$ を使い、残りの式から $a = 2, c = 5$ 。よって

$y = 2 x^{2} - 5 x + 5$

まとめ: $(0, ?)$ の点がなくても、3式の連立を解けば求まる。差をとって文字を消すのがコツ。

発展 — 一歩先へ。 別解の形 $y = a (x - 1) (x - 2) + (直線)$ は、「2点を通る」という条件を式の構造で先に満たしておく設計だ。条件を後から方程式で課すか、最初から形に埋め込むか。同じ問題でも設計思想が違う。

異なる3点を通る2次関数(または直線)はただ1つに決まる。この一意性は、数学IIの恒等式・因数定理の世界で理屈ごと手に入る。

答

$y = 2 x^{2} - 5 x + 5$

連立を小さくする、うまい形の選び方がある。通る2点を先に「食わせて」しまうのだ。

$(1, 2)$ と $(2, 3)$ を通る直線は $y = x + 1$ (傾き $1$ )。そこで、求める2次関数を

$y = a (x - 1) (x - 2) + x + 1$

の形におく。 $x = 1$ でも $x = 2$ でも $a (x - 1) (x - 2)$ の部分が $0$ になるから、この形は $a$ が何であっても2点 $(1, 2)$ 、 $(2, 3)$ を自動的に通る。

残る条件は $(- 1, 12)$ だけ。代入すると $a \times (- 2) \times (- 3) + 0 = 12$ で $a = 2$ 。

展開して $y = 2 (x - 1) (x - 2) + x + 1 = 2 x^{2} - 5 x + 5$ 。3元連立が、1元の方程式1本に縮んだ。

「条件を式の形に埋め込む」この発想は、数学IIの恒等式や、より進んだ補間の考え方につながる強力な技だ。