三角関数を置きかえた2次関数の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\cos }^{2}x$ と $\cos x$ — 同じ部品 $\cos x$ でできている。$t=\cos x$ と置きかえると、$y=t^2+t$ のただの2次関数だ。

置きかえたら、必ず新しい変数の範囲を確認する。$t=\cos x$ の動ける範囲は $-1\le t\le 1$。

あとは閉区間 $[-1,1]$ での2次関数の最大最小 — 頂点が区間に入っているかを見て、頂点と両端で決める。

① 置きかえる。 $t=\cos x$ とおくと $y=t^2+t={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$、$t$ の範囲は $-1\le t\le 1$。

② 最大・最小。 下に凸で頂点 $t=-\frac{1}{2}$(範囲内)。

• 最小:頂点 $t=-\frac{1}{2}$ で $-\frac{1}{4}$。
• 最大:頂点から遠い端。$t=-1$ で $0$、$t=1$ で $2$。よって $t=1$ で最大 $2$。

③ 結論。 最大値 $2$($\cos x=1$、$x=0$ など)、最小値 $-\frac{1}{4}$($\cos x=-\frac{1}{2}$、$x=\frac{2\pi }{3}$ など)。

まとめ $t=\cos x$($-1\le t\le 1$)で $y=t^2+t$。頂点 $t=-\frac{1}{2}$ で最小 $-\frac{1}{4}$、端 $t=1$ で最大 $2$。三角関数と $2$ 次関数の融合。$t$ の範囲を忘れると誤答。

発展 — 一歩先へ。 「置きかえたら新変数の範囲を確認」は、$t=\sin x+\cos x$($-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$)、$t=2^x$($t>0$)、$t=x+\frac{1}{x}$($|t|\ge 2$)— と、この先のすべての置換で繰り返される黄金律だ。範囲を忘れると、実現しない「最小値」を答えてしまう(たとえば本問で $t=-3$ の値を答える誤り)。置換とは「変数の乗り換え」であり、乗り換え先の路線図(範囲)の確認までがワンセットになる。

別解

候補を並べて比べる(閉区間の最大最小の帳簿)。 閉区間での2次関数の最大最小の候補は、頂点(区間内なら)と両端の高々3つしかない。全部書き出して比べる:

• 頂点 $t=-\frac{1}{2}$(区間 $[-1,1]$ 内 ✓): $y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$
• 端 $t=1$: $y=1+1=2$
• 端 $t=-1$: $y=1-1=0$

最小は $-\frac{1}{4}$、最大は $2$。

最後に実現の確認: $t=-\frac{1}{2}$ になる $x$($\cos x=-\frac{1}{2}$、たとえば $x=\frac{2\pi }{3}$)も、$t=1$ になる $x$($x=0$)も実在する — 置きかえの範囲 $[-1,1]$ の中の値はすべて実現するから、答えは確定だ。増減の議論(本解)は流れを、候補の帳簿は結論を、それぞれ最短で押さえる。