平方完成(係数が1でない場合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数が $1$ でなくても、分数でも、平方完成の手順は変わらない。

第一手を固定する。「$x$ の入った項までを係数でくくる。定数はくくらない」。

ここさえ守れば、あとはカッコの中の平方完成、係数の掛け戻し、整理、と機械的に進む。分岐点は最初の1手だけだ。

(1) $x$ の項を2でくくり、カッコの中を平方完成する。

$$\begin{array}{rl}y& =2x^2-8x+5\\ & =2(x^2-4x)+5\\ & =2\{(x-2{)}^2-4\}+5\\ & =2(x-2{)}^2-8+5\\ & =2(x-2{)}^2-3\end{array}$$

$2\times (-4)=-8$ と、くくった2をかけて外に出す。

(2) $x$ の項を $-3$ でくくる。

$$\begin{array}{rl}y& =-3x^2+6x-1\\ & =-3(x^2-2x)-1\\ & =-3\{(x-1{)}^2-1\}-1\\ & =-3(x-1{)}^2+3-1\\ & =-3(x-1{)}^2+2\end{array}$$

$-3\times (-1)=+3$ の符号に注意。

(3) 分数の係数 $\frac{1}{2}$ でくくる。

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{2}{x}^2+2x+3\\ & =\frac{1}{2}(x^2+4x)+3\\ & =\frac{1}{2}\{(x+2{)}^2-4\}+3\\ & =\frac{1}{2}(x+2{)}^2-2+3\\ & =\frac{1}{2}(x+2{)}^2+1\end{array}$$

まとめ:$\frac{1}{2}\times (-4)=-2$。分数でも手順は同じ。くくった係数を最後にかけて出す、が共通のコツだ。

発展 — 一歩先へ。 平方完成は「式の形を目的に合わせて変える技術」の代表だ。頂点が読める形に直す、という目的がはっきりしている。

一般形を文字のまま平方完成した結果(頂点の $x$ 座標が $-\frac{b}{2a}$)は、判別式や解の公式ともつながっている。数学IIでは、同じ変形が円の方程式の整理でも主役になる。

別解

慣れてきたら、頂点の位置を先に割り出す方法もある。

一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ を文字のまま平方完成すると、頂点の $x$ 座標はいつも $x=-\frac{b}{2a}$ になる。この結果を使うのだ。

(1)なら $x=\frac{8}{2\times 2}=2$。$y$ 座標は代入して $f(2)=8-16+5=-3$。だから $y=2(x-2{)}^2-3$ と即座に書ける($x^2$ の係数 $2$ はそのまま引き継がれる)。

(2)も $x=\frac{-6}{-6}=1$、$f(1)=2$ で $y=-3(x-1{)}^2+2$。

平方完成の変形そのものが求められている問題では本解の手順を書くべきだが、この方法は強力な検算になる。頂点の位置が2通りの道で一致すれば、答えはまず間違いない。