数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

拘束つき2次形式の最大・最小

最難関編2次形式最大最小

問題

$x^{2} + y^{2} = 1$ を満たす実数 $x, y$ に対し、 $Q = 3 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}$ の最大値と最小値を求めよ。

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拘束が $x^{2} + y^{2} = 1$ なら、単位円のパラメータ表示で $1$ 変数に。 $2$ 倍角の公式でそろえると振れ幅が読める。

解答・解説

単位円上の点として $x = cos θ, y = sin θ$ とおき、 $2$ 倍角で $sin 2 θ$ の $1$ 次にそろえる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 拘束 $x^{2} + y^{2} = 1$ のもとでの2次式の最大最小だ。 $x = cos θ, y = sin θ$ とおけば、拘束は自動的に満たされ、1変数 $θ$ の問題に落ちる。

2次の項は、2倍角の公式で $sin, cos$ の1次にそろえる。すると振れ幅がそのまま読める。

公式2倍角:

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

。単位円のパラメータ表示

x = cos θ, y = sin θ

は拘束

x^{2} + y^{2} = 1

を自動で満たす

① 単位円のパラメータ表示。 $x = cos θ, y = sin θ$ とおく。

$Q = 3 (cos^{2} θ + sin^{2} θ) + 2 cos θ sin θ = 3 + sin 2 θ$

( $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ 、 $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ を使った。)

② 振れ幅を読む。 $- 1 \leq sin 2 θ \leq 1$ だから、 $Q = 3 + sin 2 θ$ は

$最大値 4 (sin 2 θ = 1), 最小値 2 (sin 2 θ = - 1)$

まとめ: 拘束つき2次式は「単位円のパラメータ表示 → 2倍角 → 振れ幅」で出る。定数 $3$ は対角の係数から、振れ幅 $1$ は交差項 $2 x y$ から来ている。これは行列 $(3113)$ の固有値 $4, 2$ に一致する(2次形式の最大最小=固有値)。

答

最大値 $4$ 、最小値 $2$

三角関数を使わない(数Iの道具だけの最短路)。 拘束 $x^{2} + y^{2} = 1$ を、式にそのまま食べさせてしまう。

$Q = 3 (x^{2} + y^{2}) + 2 x y = 3 + 2 x y$

問題は「円の上で $x y$ はどこまで動けるか」に縮んだ。ここで実数の基本不等式 $x^{2} + y^{2} \geq 2∣ x y ∣$ ( $(x \mp y)^{2} \geq 0$ の言い換え)を使うと、 $1 \geq 2∣ x y ∣$ 。つまり

$- \frac{1}{2} \leq x y \leq \frac{1}{2}$

端も実現する。 $x = y = \frac{1}{2}$ で $x y = \frac{1}{2}$ (このとき $Q = 4$ )。 $x = - y = \frac{1}{2}$ で $x y = - \frac{1}{2}$ ( $Q = 2$ )。

よって $2 \leq Q \leq 4$ 。三角関数も合成も要らず、実質2行で終わる。「拘束を代入して式を縮める」と「 $(x \pm y)^{2} \geq 0$ 」。対称式の2大道具の見本だ。

拘束を忘れて $Q$ 単独の最小を探しにいく( $x = y = 0$ は円の上にない)。拘束つきの問題は、拘束をどう使うかが本体。
円の上で $∣ x y ∣ \leq 1$ と見積もる。実は $x^{2} + y^{2} = 1 \geq 2∣ x y ∣$ から $∣ x y ∣ \leq \frac{1}{2}$ で、2倍きつい。
$θ$ の範囲を $0 \leq θ < π$ などに狭め、 $sin 2 θ$ が $\pm 1$ に届かないと誤解する。円は1周( $0 \leq θ < 2 π$ )回す。