いろいろな定義域での最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問と同じ「頂点 $+$ 両端」の候補比べ — ただし今回は頂点が定義域の外にある場合が登場する。

(1) $y=-(x-3{)}^2+6$ の頂点 $x=3$ は、定義域 $1\leqq x\leqq 4$ の中。上に凸なので頂点が最大 $6$。最小は端の遠い方。

(2) $y=(x+1{)}^2-4$ の頂点 $x=-1$ は、定義域 $1\leqq x\leqq 3$ の外(左に外れている)。

頂点が外なら、定義域内でグラフは単調(ずっと増加か、ずっと減少)— 最大最小はどちらも端で起きる。

(1)

平方完成する。

$$y=-x^2+6x-3=-(x^2-6x)-3=-\{(x-3{)}^2-9\}-3=-(x-3{)}^2+6$$

頂点 $(3,6)$、上に凸(山型)。定義域 $1\le x\le 4$ に頂点 $x=3$ は入る。

上に凸なので頂点で最大 → $x=3$ で最大値6。最小は端。$x=1$ で $y=-(1-3{)}^2+6=2$、$x=4$ で $y=-(4-3{)}^2+6=5$。小さいのは $x=1$ の2。だから $x=1$ で最小値2。

(2)

平方完成する。

$$y=x^2+2x-1=(x+1{)}^2-2$$

頂点 $(-1,-2)$、下に凸。でも頂点 $x=-1$ は定義域 $1\le x\le 3$ の外(左側)にある。

頂点が範囲の左外にあると、範囲内ではグラフはずっと右上がり(単調増加)。だから左端 $x=1$ で最小、右端 $x=3$ で最大。$x=1$ で $y=(1+1{)}^2-2=2$(最小)、$x=3$ で $y=(3+1{)}^2-2=14$(最大)。

まとめ:頂点が定義域の中か外かで、最大・最小の場所が変わる。外なら『範囲内で単調 → 端で決まる』と考える。

発展 — 一歩先へ。 「頂点が定義域の外なら単調」という事実は、放物線が軸を境に片側だけ見れば単調であることから来ている。軸の右側は必ず単調増加(下に凸の場合)、左側は単調減少 — 定義域が軸をまたがなければ、そのどちらか一方に丸ごと収まる。

この「軸と定義域の位置関係で場合分け」は、次の問題($a$ が入って軸が動く)の予行演習だ。今は $a$ がないので $1$ つの型に決まるが、$a$ が入れば $3$ つの型のどれになるかが $a$ の値で変わる — 場合分けが必要になる理由が、ここにある。

別解

「頂点が定義域の内か外か」で答えの構造がまるごと変わる — $3$ つの型として整理しておこう(下に凸の場合)。

型1: 軸が定義域の左外 — 定義域内はずっと右上がり(単調増加)。最小は左端、最大は右端。

型2: 軸が定義域の中 — 谷底が中にある。最小は頂点、最大は軸から遠い方の端。

型3: 軸が定義域の右外 — ずっと右下がり(単調減少)。最大は左端、最小は右端。

(2)を型で判定してみる。軸 $x=-1$、定義域 $[1,3]$ — 軸は左外だから型1(単調増加)。

• 最小 = 左端 $x=1$: $y=1+2-1=2$
• 最大 = 右端 $x=3$: $y=9+6-1=14$

グラフを描かずとも、型の判定だけで答えの場所が決まった(値の計算は $2$ 点だけ)。

判定の手順はいつも同じ — ①平方完成して軸を出す ②軸が定義域の左外・中・右外のどれかを見る ③型に応じて最大最小の場所を決める ④その点の値を計算する。

この $3$ 型の整理は、次の「軸が動く」「定義域が動く」問題の場合分けの正体でもある。$a$ が入って場所が動いても、起きていることはこの $3$ 型の切り替えにすぎない。