数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

平方完成の基本

★ 基礎平方完成

問題

次の2次関数を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に変形せよ(平方完成せよ)。

(1) $y = x^{2} + 4 x + 1$

(2) $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$

(3) $y = - x^{2} + 6 x - 4$

ヒントを見る

$y = a (x - p)^{2} + q$ に直す。 $x^{2} + b x$ の部分は『 $x$ の係数の半分』を使って2乗を作り、余分を引く。(2)(3)は $x^{2}$ の係数が $1$ でないので、先に $x^{2}$ と $x$ の項をその係数でくくってから。

解答・解説

方針

平方完成とは、 $y = a x^{2} + b x + c$ を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に変形すること。この形にすると、頂点 $(p, q)$ がすぐわかる。

やり方: ① $x^{2}$ の係数でくくる(定数はくくらない)、②カッコの中を $(x - p)^{2}$ の形にする( $x$ の係数の半分で2乗を作り、余分を引く)、③整理する。まず $x^{2}$ の係数が1の(1)で流れをつかもう。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平方完成のゴールは「 $(x + 何か)^{2}$ のかたまりを作る」こと。 $x^{2} + 4 x$ を見たら、 $x$ の係数 $4$ の半分の $2$ を使って $(x + 2)^{2}$ を作りにいく。

ただし $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ と、余計な $4$ が付いてくる。だから足した分だけ引く。

$x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$

$x^{2}$ の係数が $1$ でない(2)(3)は、先に係数でくくるのが鉄則。くくり出した数を最後に掛け戻すのを忘れずに。

公式平方完成

x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}

(

x

の係数の半分を使う)

(1) y = (x+2)² − 3 のグラフ(頂点 (−2, −3))

(1) $x^{2} + 4 x$ の部分を「 $(x + なにか)^{2}$ 」の形にする。 $4$ の半分の2を使って $(x + 2)^{2}$ を作り、余分な $2^{2} = 4$ を引く。

$y = x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$

頂点は $(- 2, - 3)$ とわかる。

(2) $x^{2}$ の係数が2なので、まず $x$ の入った項を2でくくる(定数5はくくらない)。

$y = 2 (x^{2} - 4 x) + 5$

カッコの中 $x^{2} - 4 x$ を平方完成( $4$ の半分2を使い $(x - 2)^{2} - 4$ )。

$y = 2 {(x - 2)^{2} - 4} + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 8 + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$

カッコの外に出すとき、 $2 \times (- 4) = - 8$ と、くくった数をかけるのを忘れずに。

(3) $x^{2}$ の係数が $- 1$ 。 $x$ の項を $- 1$ でくくる。

$y = - (x^{2} - 6 x) - 4$

カッコの中を平方完成( $6$ の半分3で $(x - 3)^{2} - 9$ )。

$y = - {(x - 3)^{2} - 9} - 4 = - (x - 3)^{2} + 9 - 4 = - (x - 3)^{2} + 5$

まとめ: $- {- 9} = + 9$ の符号に注意。平方完成の芯は『 $x$ の係数の半分で2乗を作り、余分を引く』。係数があるときは先にくくる。

発展 — 一歩先へ。 なぜ平方完成をするのか — $y = a (x - p)^{2} + q$ の形にすると、グラフの全情報が読めるからだ。頂点 $(p, q)$ 、軸 $x = p$ 、凸の向き( $a$ の符号)、そして最大最小の値まで、 $1$ 目で分かる。展開された $a x^{2} + b x + c$ の形では何も見えない — 平方完成は「隠れた構造を露出させる」変形なのだ。

この変形は $2$ 次方程式の解の公式の導出そのものでもある。 $a x^{2} + b x + c = 0$ を平方完成すると $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$ — 平方根をとれば解の公式が出てくる。判別式 $b^{2} - 4 a c$ の正体も、この式の右辺だ。 $2$ 次のすべてが平方完成から生まれる。

答

(1) $y = (x + 2)^{2} - 3$ (2) $y = 2 (x - 2)^{2} - 3$ (3) $y = - (x - 3)^{2} + 5$

別解

平方完成の結果(頂点の座標)は、公式で直接出すこともできる。検算に最適だ。

$y = a x^{2} + b x + c$ の頂点の $x$ 座標は

$x = - \frac{b}{2 a}$

( $x$ の係数を、 $x^{2}$ の係数の $2$ 倍で割ってマイナス — 平方完成で「半分にする」操作が、この式に凝縮されている。)

(2) $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ : 頂点の $x$ 座標は $- \frac{- 8}{2 \times 2} = 2$ 。 $y$ 座標は代入して $y = 8 - 16 + 5 = - 3$ 。

$頂点 (2, - 3) ⟹ y = 2 (x - 2)^{2} - 3$

平方完成の答えと一致する ✓。

(3) $y = - x^{2} + 6 x - 4$ : $x = - \frac{6}{2 \times ( - 1 )} = 3$ 、 $y = - 9 + 18 - 4 = 5$ → $y = - (x - 3)^{2} + 5$ ✓。

公式は速いが、平方完成の過程そのものが後で必要になる(最大最小・グラフの移動)ので、本解の手順が本線。公式は「答えが合っているか」の $10$ 秒チェックに使うのが正しい使い分けだ。

係数のかけ忘れ(2 でくくった後の $- 4 \times 2 = - 8$ )は最頻ミスだが、公式で頂点を出して照合すれば必ず捕まる。

ポイント

平方完成 $a x^{2} + b x + c \to a (x - p)^{2} + q$ 。頂点 $(p, q)$ が読める
$x$ の係数の半分を使って2乗を作り、余分を引く
$x^{2}$ の係数があるときは、先に $x$ の項をくくる

よくある間違い

くくった数を外に出すとき、かけ忘れる( $2 \times (- 4) = - 8$ )
$- {(x - 3)^{2} - 9}$ の符号( $+ 9$ )を間違える
$x$ の係数の「半分」を取り忘れる( $x^{2} + 4 x$ なら $(x + 4)^{2}$ でなく $(x + 2)^{2}$ )