数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

グラフの平行移動

★★ 標準平行移動

問題

放物線 $C : y = x^{2} - 4 x + 1$ について、次の問いに答えよ。

(1) $C$ を $x$ 軸方向に $- 2$ 、 $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(2) $C$ をどのように平行移動すると、放物線 $y = x^{2} + 2 x + 4$ に重なるか。

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(1)は頂点を求めて、指定分だけ動かした新しい頂点から式を。(2)は移動前と後の頂点を両方求め、その差が『どれだけ動いたか』になる。

解答・解説

平行移動は頂点を動かすと考えると速い。

(1) $C$ を移動した先の頂点を求める。(2)は逆の問い — 2つの放物線の頂点を比べて、どれだけ動かせば重なるかを求める。頂点の座標の差が、動かす量になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (2)の「どう動かせば重なるか」は、式をいくら見比べても分からない。

平行移動の正体は頂点の移動だ。だから「頂点の言葉」に翻訳する。

両方の放物線の頂点を出して、差を取る。移動先の頂点から移動元の頂点を引いた差が、そのまま動かす量になる。

公式平行移動は頂点を移す。移動量は移動前後の頂点の差

C の頂点 (2, −3) がどこに移るかを見る

(1) $C : y = x^{2} - 4 x + 1$ の頂点を求める。

$y = x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2)^{2} - 4 + 1 = (x - 2)^{2} - 3$

頂点 $(2, - 3)$ 。 $x$ 方向に $- 2$ 、 $y$ 方向に3動かすと頂点は

$(2 + (- 2), - 3 + 3) = (0, 0)$

形( $a = 1$ )は変わらないので、頂点 $(0, 0)$ の放物線は

$y = x^{2}$

(2) どれだけ動かせば重なるかを求める。移動先 $y = x^{2} + 2 x + 4$ の頂点は

$y = x^{2} + 2 x + 4 = (x + 1)^{2} - 1 + 4 = (x + 1)^{2} + 3$

頂点 $(- 1, 3)$ 。 $C$ の頂点 $(2, - 3)$ から、これに動かすには、頂点の差をとって

$x 軸方向に - 1 - 2 = - 3, y 軸方向に 3 - (- 3) = 6$

まとめ:だけ動かせばよい。平行移動は『頂点の移動』。逆問題も、2つの頂点の差をとるだけだ。

発展 — 一歩先へ。 置きかえ規則( $x$ 方向に $p$ 動かす → $x$ を $x - p$ にする)は、放物線に限らずすべての曲線で同じだ。数学IIの円でも、三角関数のグラフでも、この1つの規則で平行移動が処理できる。

「グラフ上の点が動く向き」と「式の置きかえの符号」が逆になる理由まで説明できれば、この単元の平行移動は卒業だ。

答

(1) $y = x^{2}$ (2) $x$ 軸方向に $- 3$ 、 $y$ 軸方向に $6$ だけ平行移動する

(1)は式で考えてもよい。 $x$ 方向に $- 2$ 、 $y$ 方向に3動かすには、 $x$ を $x + 2$ 、 $y$ を $y - 3$ に置きかえる。

$y - 3 = (x + 2)^{2} - 4 (x + 2) + 1$

右辺を展開・整理すると $x^{2}$ になり、 $y = x^{2}$ 。頂点で考えても式でも同じだ。

$y = x^{2}$