数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

軸が動く場合の最小値(場合分け)

★★ 標準最大・最小場合分け

問題

$a$ は定数とする。2次関数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3$ ( $0 \leq x \leq 2$ ) の最小値を求めよ。

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軸 $x = a$ が動く。定義域に対して軸が『左外・中・右外』のどこかで、最小をとる場所(端か頂点か)が変わる — 3場合に分けて。

解答・解説

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 = (x - a)^{2} - a^{2} + 3$ 。頂点 $(a, - a^{2} + 3)$ 、軸 $x = a$ が $a$ で動く。定義域 $0 \leq x \leq 2$ 固定。

最小値は、軸が定義域の①左外、②中、③右外、の3場合分け。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 軸 $x = a$ が動き、定義域 $0 \leq x \leq 2$ は固定されている。

下に凸の最小値は、軸の位置がすべてだ。軸が定義域の「左外・中・右外」の3枚の絵を描く。

それぞれの絵で、最小の場所を読む。左外なら左端、中なら頂点、右外なら右端。場合分けは「絵が変わる瞬間」で切る、と決めてから計算に入る。

公式軸が動く最小:軸が定義域の左外・中・右外で場合分け

平方完成する。

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 = (x - a)^{2} - a^{2} + 3$

頂点 $(a, - a^{2} + 3)$ 、軸 $x = a$ 。下に凸で、軸が $a$ によって左右に動く。定義域 $0 \leq x \leq 2$ 固定。軸の位置で場合分け。

① 軸が左外( $a < 0$ )

[1] a < 0(例: a = −1)— 軸が左外なので x = 0 で最小

範囲内で右上がり。最小は左端 $x = 0$ 。

$f (0) = 3$

② 軸が範囲内( $0 \leq a \leq 2$ )

[2] 0 ≤ a ≤ 2(例: a = 1)— 頂点で最小

頂点で最小。

$f (a) = a^{2} - 2 a \cdot a + 3 = - a^{2} + 3$

③ 軸が右外( $a > 2$ )

[3] a > 2(例: a = 3)— 軸が右外なので x = 2 で最小

範囲内で右下がり。最小は右端 $x = 2$ 。

$f (2) = 4 - 4 a + 3 = - 4 a + 7$

まとめ:まとめると、 $a < 0$ で3、 $0 \leq a \leq 2$ で $- a^{2} + 3$ 、 $a > 2$ で $- 4 a + 7$ 。軸が動く最小は『左外・中・右外』の3場合、と型で覚えよう。

発展 — 一歩先へ。 境目の値( $a = 0$ や $a = 2$ )では、隣り合う場合の式が同じ値を返す。たとえば $a = 2$ で $- a^{2} + 3 = - 1$ 、 $- 4 a + 7 = - 1$ 。場合分けが正しければ、境目で必ず値がつながるのだ。

この「境目の一致」は、場合分けの答えの強力な検算になる。文字入りの最大最小を解いたら、境目の値を両側の式に入れて一致を確かめる習慣をつけたい。

答

$a < 0$ のとき最小値 $3$ ( $x = 0$ )、 $0 \leq a \leq 2$ のとき最小値 $- a^{2} + 3$ ( $x = a$ )、 $a > 2$ のとき最小値 $- 4 a + 7$ ( $x = 2$ )

3つの場合を、1行の原理にまとめて見ることもできる。「下に凸の放物線の値は、軸に近いほど小さい」。

だから最小値をとるのは、定義域の中で軸 $x = a$ に一番近い点だ。

場合分けの3つの式は、「軸に一番近い点はどこか」という1つの問いの答えが切り替わっているだけだ。

この見方を持つと、次の最大値の問題も「軸から一番遠い点はどこか」と読み替えるだけで解ける。対で覚えておきたい。