軸が動く最小値 m(a) と、その最大値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1) は軸が動く $3$ 場合分けの復習だ。この問題の山場は (2) にある。

(2) で視点が切り替わる。出来上がった最小値 $m(a)$ を、今度は「$a$ の関数」として眺め直すのだ。

$1$ つの問題の中で、主役が「$x$ の関数」から「$a$ の関数」へ交代する。この二段構えに気づくことが、全体を貫く発想になる。

① 平方完成して、頂点・軸を出す。

$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$$

頂点 $(a,-a^2+a+2)$、軸 $x=a$、下に凸。

② 軸の位置で3つに場合分けして、最小値 $m(a)$ を出す。 下に凸なので、軸が定義域 $0\le x\le 2$ の左外・中・右外のどこにあるかで、最小をとる場所が変わる。

軸が左外($a<0$): 左端で最小。

$$m(a)=f(0)=a+2$$

軸が範囲内($0\le a\le 2$): 頂点で最小。

$$m(a)=f(a)=-a^2+a+2$$

軸が右外($a>2$): 右端で最小。

$$m(a)=f(2)=4-4a+a+2=-3a+6$$

③ 今度は $m(a)$ を「$a$ の関数」とみて、その最大を探す。 (1)で出た $m(a)$ は $a$ ごとに式が変わる。3つの区間それぞれで最大を調べ、いちばん大きいものを選ぶ。

・$a<0$ で $m(a)=a+2$: $a$ が増えると増える。$a=0$ に近づくほど大きく、$m=2$ に近づく。 ・$0\le a\le 2$ で $m(a)=-a^2+a+2$: これは $a$ の2次関数(上に凸)。平方完成すると

$$m(a)=-a^2+a+2=-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{4}$$

頂点 $a=\frac{1}{2}$ で最大 $\frac{9}{4}$。$a=\frac{1}{2}$ は区間 $0\le a\le 2$ の中にある。 ・$a>2$ で $m(a)=-3a+6$: $a$ が増えると減る。$a=2$ で $m=0$ から下がる一方。

3区間を比べると、いちばん大きいのは真ん中の区間の $\frac{9}{4}$。よって

$$a=\frac{1}{2}\text{ のとき最大値 }\frac{9}{4}$$

まとめ:『最小値 $m(a)$ の最大』という2段構え。(1)で場合分けした $m(a)$ を、(2)では $a$ の関数として、各区間で最大を調べるのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 じつは $f(x)=x^2-2ax+a+2$ は、$x$ を固定して $a$ の式と見ると $1$ 次式だ。$f=a(1-2x)+(x^2+2)$ と、$a$ について直線になっている。

各 $x$ ごとに $a$ の直線が $1$ 本あり、$m(a)$ はそれらの中でいちばん下を通る線をつないだもの(下側の包絡線)にあたる。直線たちの最小をとった関数は、必ず上に凸になる。だから $m(a)$ は上に凸で、最大が一点で決まる。

このように「最小の最大」を求める問題を、一般にマクシミン(最悪の値をできるだけ良くする)という。最適化や意思決定の理論で中心となる考え方で、$2$ 次関数の場合分けは、その最も入り口の例になっている。

別解

別解 — すべての放物線が通る定点に注目(得意な人向けの高い視点)。 $f(x)=x^2-2ax+a+2$ を $a$ について整理すると、$f(x)=(x^2+2)+a(1-2x)$ となる。$a$ の係数 $1-2x$ が $0$ になる $x=\frac{1}{2}$ では、$a$ が何であっても値が変わらない。実際 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$ で一定だ。

つまり $a$ をどう選んでも、放物線は必ず定点 $\left(\frac{1}{2},\frac{9}{4}\right)$ を通る。

$x=\frac{1}{2}$ は定義域 $0\le x\le 2$ の中にある。だから区間内の最小値 $m(a)$ は、この定点の高さを超えられない。

$$m(a)\le f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}(\text{どの }a\text{ でも}).$$

あとは、この上限に届く $a$ があるかを確かめればよい。頂点が $x=\frac{1}{2}$ に来る $a=\frac{1}{2}$ をとると、$f(x)={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{4}\ge \frac{9}{4}$ となり、区間内の最小はちょうど $\frac{9}{4}$。

上限 $\frac{9}{4}$ に実際に届いたので、これが $m(a)$ の最大だ。$3$ 場合に分けて各区間の最大を比べる本解に対し、こちらは「この放物線の族が共有する定点」を $1$ つ見抜くだけで上限が出る。本解と同じく、$a=\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$。