放物線の下の格子点の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 格子点の数え上げは、1列ずつ数えて足すのが確実だ。

まず $x$ の動ける範囲: $-x^2+4\ge 0$ から $-2\le x\le 2$、整数だから5列。

各列($x$ を固定)で、$y$ は $0$ から $-x^2+4$ までの整数 — 個数は $-x^2+5$ 個。列ごとの個数を足し合わせれば終わる。

① $x$ の範囲。 $y\ge 0$ が入る($y=0$ が許される)には $-x^2+4\ge 0$、$x^2\le 4$、$-2\le x\le 2$。整数 $x$ は $-2,-1,0,1,2$。

② 各 $x$ での個数。 $y$ は $0$ から $-x^2+4$ まで、$-x^2+5$ 個。

• $x=0$:$5$ 個($y=0,\dots ,4$)、
• $x=\pm 1$:$4$ 個ずつ($y=0,\dots ,3$)、
• $x=\pm 2$:$1$ 個ずつ($y=0$)。

③ 合計。 $$5+4+4+1+1=15.$$

まとめ $x$ を固定して $y$ の個数($-x^2+5$ 個)を数え、$-2\le x\le 2$ で合計 $15$。$2$ 次関数(放物線)と数え上げ(格子点)の融合。

発展 — 一歩先へ。 放物線を $y\le -x^2+n$ に一般化すると、格子点の総数は ${\sum }_x(-x^2+n+1)$ 型の平方和の計算になり、$n$ が大きいとおよそ $\frac{4}{3}{n}^{3/2}$(面積 $\int (-x^2+n)dx$ に近づく)。「格子点の個数 ≈ 面積」という直感の精密化は、ピックの定理(格子多角形の面積公式)や数IIIの区分求積へつながる入り口だ。

別解

横に数える(y ごとの数え直し)。 縦の列($x$ ごと)でなく、横の行($y$ ごと)で数え直すこともできる。

高さ $y$ の行では、$y\le -x^2+4$ ⟺ $x^2\le 4-y$ ⟺ $|x|\le \sqrt{4-y}$。整数 $x$ の個数は $2\left[\sqrt{4-y}\right]+1$ 個:

• $y=0$: $|x|\le 2$ で 5個
• $y=1,2,3$: $\sqrt{4-y}=\sqrt{3},\sqrt{2},1$ で $[\cdot ]=1$、各 3個
• $y=4$: $x=0$ の 1個

合計 $5+3+3+3+1=15$ — 縦の数え($5+4+4+1+1$)と一致する。

同じ15個を縦に切るか横に切るか。2通りで数えて一致させるのは、数え上げの最強の検算法であり、二重和の順序交換の入り口でもある。