x軸から切り取る線分の長さと2次関数の決定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 かなめは「$x$ 軸から切り取る線分の長さ」を、どう式に翻訳するかだ。これは $x$ 軸との $2$ つの交点の、$x$ 座標の差にほかならない。

放物線は軸について左右対称だから、「軸から左右に $2$ ずつ」とも読める。長さ $4$ という条件が、こうして交点の座標へつながる。

条件は $2$ つ(頂点が直線上・長さ $4$)、決めたい未知数も $2$ つ(頂点の位置)。数がそろっているので、$2$ 式を連立すれば決まる、と見通しを立てる。

$x^2$ の係数が1なので $y=(x-p{)}^2+q$ とおく。頂点は $(p,q)$。

条件①(頂点が直線上): 頂点 $(p,q)$ が $y=-2x-1$ 上にあるので $q=-2p-1$。これを代入すると

$$y=(x-p{)}^2-2p-1$$

条件②(切り取る線分の長さ): $x$ 軸との交点は $y=0$ とおいて求める。

$$(x-p{)}^2=2p+1$$

$$x=p\pm \sqrt{2p+1}$$

2つの交点の $x$ 座標の差が、切り取る線分の長さ。これが4なので

$$\left(p+\sqrt{2p+1}\right)-\left(p-\sqrt{2p+1}\right)=2\sqrt{2p+1}=4$$

$\sqrt{2p+1}=2$、両辺2乗して $2p+1=4$、$p=\frac{3}{2}$。すると $q=-2\times \frac{3}{2}-1=-4$。よって

$$y={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-4=x^2-3x-\frac{7}{4}$$

まとめ:『$x$ 軸から切り取る線分の長さ』は2解の差、と読みかえるのがポイント。頂点の条件と合わせて、2つの式から決める。

発展 — 一歩先へ。 「$x$ 軸から切り取る長さ」を、もっと一般の水平線 $y=k$ で切る長さに広げてみる。$y=(x-p{)}^2+q$ を $y=k$ で切ると $(x-p{)}^2=k-q$、交点は $x=p\pm \sqrt{k-q}$ で、弦の長さは $2\sqrt{k-q}$ になる。

長さは頂点の位置 $p$ にはよらず、線が頂点よりどれだけ上か($k-q$)だけで決まる。しかも長さは、その深さの平方根に比例して伸びる。

この「弦は深さの平方根で伸びる」性質は放物線に固有のものだ。$x$ 軸($k=0$)の場合が $2\sqrt{-q}$ で、この問題では $-q=4$、すなわち頂点が $x$ 軸の $4$ だけ下にある、と言い換えられる。切り取る長さは、じつは頂点の深さそのものを測っている。

別解

別解 — 一般形 $y=x^2+bx+c$ と判別式で押す(得意な人向けの視点)。 頂点の形を使わず、$y=x^2+bx+c$ とおいて係数 $b,c$ を直接決める。

$x$ 軸との交点は $x^2+bx+c=0$ の $2$ 解。その差は、解と係数の関係から

$$|\alpha -\beta |=\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\sqrt{b^2-4c}.$$

これが切り取る線分の長さ $4$ だから $b^2-4c=16$。$x^2$ の係数が $1$ の放物線では、切り取る長さの $2$ 乗がそのまま判別式になる。

次に頂点 $\left(-\frac{b}{2},c-\frac{b^2}{4}\right)$ が直線 $y=-2x-1$ 上にある条件。$c-\frac{b^2}{4}=-2\cdot \left(-\frac{b}{2}\right)-1=b-1$、すなわち $c=\frac{b^2}{4}+b-1$。

これを $b^2-4c=16$ に代入すると $b^2-4\left(\frac{b^2}{4}+b-1\right)=-4b+4=16$、よって $b=-3$。すると $c=\frac{9}{4}-3-1=-\frac{7}{4}$。

$$y=x^2-3x-\frac{7}{4}.$$

頂点形で解く本解と同じ答えだが、こちらは「切り取る長さの $2$ 乗 $=$ 判別式」という関係を軸に、一般形の係数を一気に決めている。