数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

さいころの目と2次方程式が実数解をもつ確率

最難関編確率判別式

問題

$1$ 個のさいころを $3$ 回投げ、出た目を順に $a, b, c$ とする。 $2$ 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が実数解をもつ確率を求めよ。

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実数解の有無は判別式 $b^{2} \geq 4 a c$ 。 $b$ ごとに $a c \leq b^{2} /4$ となる目の組 $(a, c)$ を数え上げるのが確実。

解答・解説

実数解をもつ ⟺ 判別式 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 。 $b$ を固定して $4 a c \leq b^{2}$ となる $(a, c)$ を数える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「実数解をもつ」を条件式に翻訳する。目は $1 \sim 6$ だから $a \geq 1 \neq = 0$ 。必ず2次方程式で、実数解 ⟺ 判別式 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 、すなわち $b^{2} \geq 4 a c$ だ。

$a, b, c$ は独立で全 $216$ 通り。 $b$ を固定して「 $4 a c \leq b^{2}$ となる $(a, c)$ の個数」を数えるのが整理しやすい。

重要

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq = 0

)が実数解をもつ

⟺

判別式

b^{2} - 4 a c \geq 0

① $b$ ごとに $a c \leq \frac{b ^{2}}{4}$ となる $(a, c)$ を数える。

$b = 1$ : $a c \leq \frac{1}{4}$ 。 $a c \geq 1$ より $0$ 個
$b = 2$ : $a c \leq 1$ 。 $(1, 1)$ の $1$ 個
$b = 3$ : $a c \leq 2.25$ 。 $a c = 1, 2$ : $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$ の $3$ 個
$b = 4$ : $a c \leq 4$ 。 $a c = 1, 2, 3, 4$ の個数 $1 + 2 + 2 + 3 = 8$ 個
$b = 5$ : $a c \leq 6.25$ 。 $a c = 1, \dots, 6$ の個数 $1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 = 14$ 個
$b = 6$ : $a c \leq 9$ 。上の $14$ に $a c = 8$ (2個)と $a c = 9$ (1個)を加えて $17$ 個( $a c = 7$ は目の積で作れない)

② 合計する。

$0 + 1 + 3 + 8 + 14 + 17 = 43, 全体 6^{3} = 216$

$確率 = \frac{43}{216}$

まとめ: 判別式 $b^{2} \geq 4 a c$ に翻訳し、 $b$ ごとに $a c \leq b^{2} /4$ の $(a, c)$ を数える。 $a c$ の各値を作る組の個数を丁寧に数えるのが確実だ。2次関数(判別式)と確率(数え上げ)の融合になっている。

答

$\frac{43}{216}$

集計の向きを変えて検算する( $(a, c)$ を固定)。 数え上げは、集計の向きを変えると独立な検算になる。今度は積 $a c$ の側から数えてみよう。

$a c$ の値ごとに「その積を作る組の数」と「 $b^{2} \geq 4 a c$ となる $b$ の個数」を掛けて足す。 $4 a c \leq 36$ 、つまり $a c \leq 9$ だけが生き残る:

合計は $1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 43$ 。本解と一致した。

二重の数え上げは、どちらの文字を固定するかで景色が変わる。両方の向きで数えて一致させるのは、答えの信頼を自前で作る技術だ。

$a = 0$ (1次になる)場合の場合分けを始めてしまう。さいころの目は $1 \sim 6$ だから $a \geq 1$ で、つねに2次。最初の一言で片づく。
「実数解をもつ」を $b^{2} > 4 a c$ (重解を除く)で数える。重解も実数解。等号込みの $\geq$ で数える。
$(a, c) = (1, 2)$ と $(2, 1)$ を同じものとして1回しか数えない。 $a$ と $c$ は役割の違う独立な目で、順序をつけて数える。