差分の条件からの2次関数の決定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $f$ が $2$ 次関数と分かっているので、$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおいて係数を決める。

条件 $f(x+1)-f(x)=4x$ を計算する。$a(x+1{)}^2+b(x+1)+c-(a{x}^2+bx+c)=2ax+a+b$。これが $4x$ に等しい(恒等式)。

$x$ の係数を比べて $2a=4$($a=2$)、定数項を比べて $a+b=0$($b=-2$)。最後に $f(0)=c=1$。これで $f$ が決まる。

① おいて差を作る。 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。

$$f(x+1)-f(x)=a\{(x+1{)}^2-x^2\}+b\{(x+1)-x\}=a(2x+1)+b=2ax+(a+b)$$

② 係数を比べる。 これが $4x$(=$4x+0$)に恒等的に等しいから

$$2a=4,a+b=0$$

よって $a=2$、$b=-2$。

③ 定数を決める。 $f(0)=c=1$。したがって

$$f(x)=2x^2-2x+1$$

(検算:$f(x+1)-f(x)=2(2x+1)-2=4x$、$f(0)=1$。条件どおり。)

まとめ:未知の関数は「$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく」。差の条件は恒等式として係数比較に持ち込み、定数項は $1$ 点の値で決める。$3$ 未知数に $3$ 条件で過不足なく決まる。

発展 — 一歩先へ。 $f(x+1)-f(x)$(前進差分)は微分 $f^{\prime }(x)$ の離散版。「差分が $n$ 次多項式 $\Rightarrow$ 元は $n+1$ 次多項式」という関係は、微分と積分の関係($f^{\prime }$ が $n$ 次なら $f$ は $n+1$ 次)とそっくり。$\Delta (x^2)=2x+1$、$\Delta \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k-1}\right)$ など、差分の計算は組合せ論で重要な道具になる。

別解

別解 — 「階差が $4x$ なら和で $2x^2$」と離散和で捉える(得意な人向けの視点)。 $f(x+1)-f(x)=4x$ は、数列の階差が $4x$ という関係。階差から元を復元するには、和をとる(積分の離散版)。

整数 $n$ で $f(n)-f(0)=\sum _{k=0}^{n-1}\{f(k+1)-f(k)\}=\sum _{k=0}^{n-1}4k=4\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2n^2-2n$。

$f(0)=1$ を足して $f(n)=2n^2-2n+1$。整数点でこの式が成り立ち、$f$ は $2$ 次関数だから、$2$ 次関数は $3$ 点で一致すれば全体で一致 — よって $f(x)=2x^2-2x+1$。

係数比較(本解)は代数的で速いが、「階差 $1$ 次 → 元は $2$ 次($\sum k=\frac{n(n-1)}{2}$)」という離散の和の感覚でも同じ式が出る。$\Delta f=4x$ と $\frac{df}{dx}=4x$($\to f=2x^2$)が似た形なのは、階差と微分が親戚だからだ。