最小値 m(a) を求め、m(a)=1 となる a を決める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平方完成 $f(x)=(x-a{)}^2+3-a^2$ で軸は $x=a$。定義域 $[-1,1]$ に対する軸の位置で最小値を $3$ 場合に分ける。

軸が区間の左外($a<-1$)なら左端 $x=-1$ で最小、区間内($-1\le a\le 1$)なら頂点で最小、右外($a>1$)なら右端 $x=1$ で最小。

(2) は各場合の式 $=1$ を解く。ただし出た $a$ が「その場合の範囲」に入るかを必ず確認する。範囲外の解は捨てる — これがこの手の問題の落とし穴だ。

① (1) $m(a)$ を求める。 $f(x)=(x-a{)}^2+3-a^2$、軸 $x=a$。

• $a<-1$(軸が左外):区間で増加、最小は左端 $f(-1)=1+2a+3=2a+4$。
• $-1\le a\le 1$(軸が内):最小は頂点 $f(a)=3-a^2$。
• $a>1$(軸が右外):区間で減少、最小は右端 $f(1)=1-2a+3=4-2a$。

② (2) $m(a)=1$ を解く。 各場合で解き、範囲を確認する。

• $a<-1$:$2a+4=1$ より $a=-\frac{3}{2}$。$-\frac{3}{2}<-1$ を満たす → 採用。
• $-1\le a\le 1$:$3-a^2=1$ より $a^2=2$、$a=\pm \sqrt{2}$。どちらも $|a|=\sqrt{2}>1$ で範囲外 → 不適。
• $a>1$:$4-2a=1$ より $a=\frac{3}{2}$。$\frac{3}{2}>1$ を満たす → 採用。

よって $a=-\frac{3}{2},\frac{3}{2}$。

まとめ:場合分けの最小値 $m(a)$ を逆に使う問題は、各場合の式を解いて“前提範囲との整合”で採否を決める。中央の場合の解 $\pm \sqrt{2}$ が範囲外で消えるのが、この問題の落とし穴。

発展 — 一歩先へ。 $m(a)=1$ の解が $2$ つ出るのは、$m(a)$ のグラフ(山型:直線・放物線・直線)が水平線 $m=1$ と $2$ 点で交わるから。$m(a)$ の最大値は頂点の $3-a^2=3$($a=0$)。$m(a)=k$ の解の個数は $k$ の値で変わり、$k>3$ で $0$ 個、$k=3$ で $1$ 個…と読める。パラメータ入り最大最小は、$m(a)$ 自体をもう一度グラフにすると全体が見える。

別解

別解 — $(2)$ を「$m(a)=1$ の解の存在範囲」で図的に絞る(得意な人向けの視点)。 $m(a)$ のグラフ($a$ の関数)を描くと、$3$ つの部分がつながった曲線になる。$a<-1$ で直線 $2a+4$(右上がり)、$-1\le a\le 1$ で放物線 $3-a^2$(上に凸、頂点 $3$)、$a>1$ で直線 $4-2a$(右下がり)。

水平線 $m=1$ とこの曲線の交点を数える。

• 中央の放物線 $3-a^2=1$ は $a=\pm \sqrt{2}$ だが、$|\sqrt{2}|>1$ で「$-1\le a\le 1$」の外。この部分では交点なし。
• 左の直線 $2a+4=1$ は $a=-\frac{3}{2}$。これは「$a<-1$」に入る。○
• 右の直線 $4-2a=1$ は $a=\frac{3}{2}$。これは「$a>1$」に入る。○

交点は $a=-\frac{3}{2},\frac{3}{2}$ の $2$ つ。

各場合の式を解いて範囲を確認する(本解)のと同じだが、$m(a)$ のグラフを描いて水平線 $m=1$ との交点を見ると、「中央の放物線は最小値 $3-1=2$ 止まりで $1$ に届かない」ことが一目で分かり、解の採否で迷わない。