グラフの頂点と軸

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=a(x-p{)}^2+q$ の形なら、読み取るだけ。

• 頂点 $(p,q)$ — カッコの中を $0$ にする $x$ と、そのときの $y$
• 軸 $x=p$ — 頂点を通る縦線
• 凸の向き — $a>0$ なら下に凸(谷)、$a<0$ なら上に凸(山)

(1)はすでにその形。(2)(3)は平方完成してから読む。$(x+1{)}^2$ の頂点は $x=-1$(符号が逆)— ここが最大の引っかけである。

$y=a(x-p{)}^2+q$ の形にすれば、頂点 $(p,q)$、軸 $x=p$。$a$ の符号で凸の向きが決まる。

(1) $y=(x-1{)}^2+2$ はすでにこの形。頂点 $(1,2)$、軸は直線 $x=1$。$a=1>0$ なので下に凸。

(2) 平方完成する。

$$y=x^2+2x-3=(x+1{)}^2-1-3=(x+1{)}^2-4$$

頂点 $(-1,-4)$、軸 $x=-1$、$a=1>0$ で下に凸。

(3) $x^2$ の係数 $-2$ でくくって平方完成する。

$$\begin{array}{rl}y& =-2(x^2-2x)+1\\ & =-2\{(x-1{)}^2-1\}+1\\ & =-2(x-1{)}^2+2+1\\ & =-2(x-1{)}^2+3\end{array}$$

頂点 $(1,3)$、軸 $x=1$、$a=-2<0$ で上に凸。

まとめ:$(x-p{)}^2$ の $p$ は符号が逆になる($(x+1{)}^2$ なら頂点の $x$ は $-1$)ことに注意。

発展 — 一歩先へ。 放物線は軸について左右対称だ。この対称性は計算にも使える — たとえば $x=0$ と $x=2$ が軸 $x=1$ から等距離なら、$y$ の値は必ず等しい。(2)で確かめると $y(0)=-3$、$y(-2)=-3$(軸 $x=-1$ から等距離)✓。

対称性は「$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸の交点は軸について対称」「$2$ 解の平均が軸の位置」という事実も生む。$x^2+2x-3=0$ の解 $x=1,-3$ の平均は $-1$ — まさに軸だ。解と軸と頂点が、対称性で結ばれている。

別解

$(x+1{)}^2$ の頂点が $x=-1$ になる理由を、カッコの中を $0$ にする $x$ として捉えると、符号の混乱が消える。

$(x-p{)}^2$ の形で、$2$ 乗の中身が $0$ になるのは $x=p$ のとき。$2$ 乗は必ず $0$ 以上なので、中身が $0$ のときに $2$ 乗が最小($=0$)になり、そこが頂点だ。

$(x+1{)}^2$ なら、中身 $x+1$ が $0$ になるのは $x=-1$。だから頂点の $x$ 座標は $-1$。

「$(x-p{)}^2$ の $p$ を読む」のではなく「中身を $0$ にする $x$ を求める」 — この $1$ 手間で符号ミスが起きなくなる。

$y$ 座標の求め方も、この見方なら自然だ。頂点では $2$ 乗の部分が $0$ になるので、残りの定数がそのまま $y$ 座標。(2)の $y=(x+1{)}^2-4$ なら頂点は $(-1,-4)$。

凸の向きの意味も押さえておこう。$a>0$ なら「$2$ 乗の正の倍」だから頂点が最小値(下に凸の谷底)、$a<0$ なら「$2$ 乗の負の倍」で頂点が最大値(上に凸の山頂)。(3)の $y=-2(x-1{)}^2+3$ は上に凸だから、頂点 $(1,3)$ の $3$ がこの関数の最大値だ。

グラフを描かなくても、$a$ の符号と頂点だけで「山か谷か、頂点は最大か最小か」が確定する。